Cuantificación de energía en la integral de trayectoria y el espectro de Fourier de la acción

Ofrecí una recompensa por esta pregunta por una manera simple de ver que la integral de ruta de Feynman produce niveles de energía discretos para estados ligados, en mecánica cuántica unidimensional. Como se muestra allí, en teoría hay una explicación simple. La integral de trayectoria calcula el propagador por

$$K(x_i, x_f, t) \equiv \langle x_f | e^{- i H t} | x_i \rangle = \int_{x(0) = x_i, x(t) = x_f} \mathcal{D}x(t)\, e^{iS[x(t)]/\hbar}.$$ Por otro lado, aplicando una aproximación semiclásica, la integral de trayectoria es simplemente $$K(x_i, x_f, t) \sim \bigg| \frac{\partial^2 S_0(x_i, x_f, t)}{\partial x_i \partial x_f}\bigg|\, e^{i S_0(x_i, x_f, t)/\hbar}$$ dónde $S_0$es la acción on-shell, es decir, la acción para el camino clásico que va desde $x_i$a $x_f$a tiempo $t$, donde estoy ignorando cuestiones sobre la existencia y singularidad de tal camino. Esto tiene mucho sentido porque en la aproximación semiclásica simplemente nos expandimos sobre esa ruta clásica, y todo lo que hace la integral de ruta es proporcionar el factor adicional al frente, reflejando cuánto las rutas cercanas en la integral de ruta amplifican o suprimen la clásica.

Por otro lado, trabajando en la base propia de energía, tenemos

$$K(x_i, x_f, t) = \sum_{n,m} \langle x_f | n \rangle \langle n| \ e^{-iHt} |m \rangle \langle m | x_i \rangle = \sum_n \langle x_f | n \rangle \langle n | x_i \rangle e^{-i E_n t/\hbar}$$ entonces obtenemos energía discreta si la transformada de Fourier de $K(x_i, x_f, t)$en el tiempo tiene soporte discreto, lo que es equivalente a que lo mismo sea cierto para $S_0(x_i, x_f, t)$. Eso significa que podemos leer la discretización de energía directamente de la acción clásica. De hecho, para el caso del oscilador armónico, $S_0(t)$es una función periódica, lo que refleja el hecho de que los niveles de energía cuántica están espaciados uniformemente.

Mi problema es que no puedo ver cómo funciona esto para un pozo de potencial general. he intentado calcular$S_0(t)$para situaciones además del oscilador armónico, y no parece tener un espectro discreto en absoluto. ¿Hay una forma directa de ver este resultado, si es cierto?