Cuantización frente a niveles de energía continuos

La cuantización de los niveles de energía aparece tanto en la mecánica cuántica como en la clásica, y no es una consecuencia de la ecuación de Schrödinger. Es consecuencia del confinamiento. De hecho, cada vez que una ecuación de onda (cualquier ecuación cuántica para la función de onda o una ecuación clásica para un campo clásico, por ejemplo, campo EM) tiene condiciones de contorno periódicas en algunas variables espaciales, el sistema exhibe niveles de energía cuantificados.

Como se notó en la pregunta y en otras respuestas, los niveles de energía en los sistemas cuánticos no siempre están cuantificados. Por otro lado, también los sistemas clásicos exhiben cuantización de los niveles de energía. Por ejemplo, considere las frecuencias permitidas de una cuerda con longitud fija (confinamiento), como en una guitarra o un violín. En tal cadena, los "estados de energía" permitidos corresponden a frecuencias (armónicos) que son múltiplos de una frecuencia fundamental (primer armónico).

En el reino cuántico, los niveles de energía se cuantifican si la función de onda se limita a un espacio finito, por ejemplo, en un orbital atómico o en un pozo cuántico. En un sólido, los niveles de energía también están cuantificados, pero la diferencia$\Delta$entre niveles disminuye a medida que aumenta el tamaño del sistema. Por lo tanto, en el límite termodinámico (sistemas de gran tamaño), estos niveles de energía cuantificados se convierten en un continuo de estados, ya que$\Delta\rightarrow0$.

Como ejemplo, consideremos una onda plana

Técnicamente, tanto los sólidos como los gases tienen niveles de energía cuantificados. La diferencia es que las moléculas de un gas interactúan muy débilmente con otras moléculas, por lo que los niveles de energía observados en la emisión o absorción de una colección de moléculas de gas son casi exactamente los mismos que los niveles de energía que se observarían si tuviera una sola molécula de gas. En aislamiento. En los sólidos, los átomos o moléculas interactúan muy fuertemente, por lo que para predecir el espectro de absorción o emisión, debe considerar todo el sistema al mismo tiempo, lo que produce niveles de energía extremadamente cercanos entre sí (lo que, para todos). intenciones y propósitos, se vuelve indistinguible de continuo cuando tiene del orden de 10 ^ 23 átomos o moléculas).

En mecánica cuántica, la ecuación de movimiento es la ecuación de Schrödinger.

Hay ejemplos de sistemas físicos que presentan ambos comportamientos: el ejemplo estándar de un espectro discreto son los niveles de energía del átomo de hidrógeno en sus estados normalizables. Por otro lado, los problemas de dispersión a menudo involucran espectros continuos y no renormalizables (al menos en$L^2(\mathbb{R}^3)$) soluciones.

La cuantización es un hecho experimental que obligó a los físicos a considerar teorías que pudieran explicar los datos. Esto sucedió a principios del siglo XX.

1) la radiación de cuerpo negro solo podría explicarse suponiendo que la radiación llegaba en cuantos, es decir, no en un espectro continuo).

2) El efecto fotoeléctrico demostró que la luz se comportaba como un conjunto de partículas, a las que se denominó fotones.

3) Los átomos en lugar de espectros continuos tenían espectros discretos

Espectro de emisión de hidrógeno.

En lugar de un espectro de emisión continuo, el hidrógeno da estas líneas distintas. Todos los átomos dan espectros que los caracterizan.

Así, la cuantización a nivel atómico y de partículas es un hecho experimental.

Los primeros físicos intentaron explicar el espectro del hidrógeno con un modelo de tipo planetario, el modelo de Borh , utilizando la electrodinámica clásica. El problema al que se enfrentaba era doble,

1) Las órbitas eran inestables, la más mínima perturbación haría que el electrón cayera sobre el núcleo irradiando continuamente. Esto se resolvió postulando órbitas cuantificadas fijas.

2) aunque se pudiera ajustar el espectro del átomo de hidrógeno , la generalización a los otros átomos con más electrones no podría funcionar con éxito.

Con la ecuación de Schrödinger y los postulados que la acompañan, surgió la Mecánica Cuántica como teoría y ahora se considera el marco subyacente de toda la naturaleza.

La teoría de la física está ahora en condiciones de ajustar espectros de todo tipo de átomos, y también con cierta aproximación de todo tipo de materia, desde sólido hasta líquido y gas.

El 1/2kx^2 es el potencial en este ejemplo simple de un sistema cuantificado.

Los electrones en el pozo de potencial de los átomos/moléculas/sólidos están siempre en niveles cuantificados, pero cuanto más cerca del 0 del pozo de potencial están las energías, más densa es su posición y experimentalmente no se pueden distinguir de un continuo. En los sólidos hay potenciales colectivos y las soluciones QM pueden dar una densidad de niveles de energía tal que se forman bandas donde los electrones son compartidos por todos los átomos/moléculas del sólido, como en los metales y semiconductores.

Siempre que existan potenciales, los electrones con energía por debajo del potencial (los potenciales van de 0 a valores negativos de la energía de enlace) estarán en principio en niveles de energía cuantizados, aunque la densidad de los niveles junto con el principio de incertidumbre de Heisenberg pueden mostrar un continuo. . Para los electrones que están libres (por encima de cero en energía con respecto al potencial), no hay cuantización.

La diferencia entre la proximidad en los sólidos y las distancias en los gases radica en que en los gases los átomos/moléculas son libres, mientras que en los sólidos y líquidos existen potenciales de unión colectivos que generan más niveles de energía que los atómicos/moleculares.

Si los niveles de energía son continuos (dentro de un intervalo dado de energías), entonces una partícula (o sistema) puede, en principio, tener cualquier energía en ese intervalo. Si se cuantifican en decir$E_1,E_2...$, entonces una partícula (o sistema) puede tener solo una de esas energías, y nada entre ellas.

Los estados ligados tienen energías cuantizadas, mientras que los estados no ligados tienen energías continuas. Esto se puede entender pensando, por ejemplo, en el pozo cuadrado infinito 1D. Puede pensar semiclásicamente en la partícula que "rebota de un lado a otro" entre las paredes del pozo de potencial cuadrado. En la mayoría de las longitudes de onda, la partícula reflejada interferirá consigo misma y después de muchos viajes de ida y vuelta, la función de onda promediará cero en todas partes, lo que significa que no hay solución. Es solo en ciertas longitudes de onda particulares (o frecuencias equivalentes) donde la interferencia es constructiva que la función de onda promedio es distinta de cero, y estas frecuencias particulares conforman el espectro de energía de estado límite discreto.

Para los estados no vinculados, no hay "rebote de un lado a otro", por lo que la autointerferencia no elimina ninguna frecuencia, lo que da como resultado un espectro continuo. Como señala Travis en su respuesta, tanto los gases como los sólidos tienen niveles de energía discretos (si se ignora la energía cinética del gas), ya que ambos son estados ligados. Sin embargo, el sólido tiene una densidad de estados tan alta que puede considerarse prácticamente continuo.

Considere un hamiltoniano que es traduccionalmente invariante. Por ejemplo,

$H = \frac{ \hat{p}^2}{2m} = - \frac{1}{2m} \frac{ \partial^2}{\partial x^2}$.

Hay otras opciones (cualquier hamiltoniano que no contenga el operador$\hat{x}$Por ejemplo). Tal hamiltoniano forma estados cuánticos que tienen un momento definido, es decir, son estados propios del operador$\hat{p} = -i \frac{ \partial}{\partial x}$. Podemos decir que los estados cuánticos del hamiltoniano representan movimiento libre en el espacio.

Una propiedad crucial de estos estados es que tienen una extensión infinita, es decir, no son normalizables. Están deslocalizados. Al mismo tiempo, el espectro de energía es continuo.

Ahora considere un hamiltoniano que consiste en una parte traduccionalmente invariante más un término potencial$V(x)$que desaparece en el infinito espacial. Para tal hamiltoniano, siempre existirán soluciones libres lejos del potencial. Estos estados se denominan estados de dispersión: tienen un espectro continuo de energías. Estos estados de dispersión no son normalizables.

Sin embargo, el mismo hamiltoniano también puede formar estados ligados. Un estado ligado decae exponencialmente fuera de la región potencial y es normalizable. Los estados ligados solo pueden existir en energías discretas; la razón es que son ondas estacionarias, y las ondas estacionarias deben satisfacer una condición de interferencia que discretiza el espectro. En términos muy generales, una onda estacionaria solo se puede formar cuando un número entero de longitudes de onda cabe dentro de la órbita de la partícula. Pero, por supuesto, la verdadera historia es mucho más compleja. Hay un teorema que dice que en una dimensión, siempre que el potencial varíe lentamente en comparación con la longitud de onda de la partícula, tiene estados ligados a energías donde la acción clásica

$\oint{pdx} = 2\pi(n + \frac{1}{2})$.

(Esto se llama cuantización de Bohr-Sommerfeld). el entero$n$corresponde al número de nodos en la función de onda.

Debido a que los estados unidos decaen exponencialmente, la energía debe estar por debajo del continuo; esto significa que si su potencial llega a cero en el infinito, la energía es negativa. Para ver esto, aplique el operador de Hamilton$(- \frac{1}{2m} \frac{ \partial^2}{\partial x^2} + V(x) )\psi = E \psi$y tenga en cuenta que en la región donde$V(x) \rightarrow 0$, puede ignorar el segundo término en el hamiltoniano. Actuar sobre cualquier exponencial real con la segunda derivada te da la misma función multiplicada por un factor positivo, por lo que el signo general es negativo. para energías$E < 0$, puede tener estados vinculados discretos si su potencial los admite. para energías$E > 0$, tienes un continuo de estados de dispersión.

Ahora, ¿qué pasa con un sólido? Un sólido se compone de un potencial bastante complicado.$V(x)$que se desvanece fuera del sólido. Entonces, su función de onda está confinada dentro de una caja que es del tamaño de su sólido. Si su función de onda está decayendo exponencialmente fuera del sólido, entonces corresponde a energías cuantizadas$E_n$. Calculemos el espectro de energía de una partícula 1D en una caja, digamos con un tamaño de 1 cm. obtendrá un espectro

$E_n = \frac{ k_n^2}{2m}$dónde$k_n = \frac{ \pi n}{L}$.

La diferencia entre dos niveles de energía.$E_n$y$E_{n+1}$es entonces$E_{n+1}- E_n = \frac{ \pi^2}{2mL^2} ( (n+1)^2 - n^2) = \frac{\pi^2}{2mL^2} (2n+1)$. Si luego impone un potencial periódico, por ejemplo, hay una red iónica con iones espaciados a distancia$a$aparte, el valor máximo de$n$será

$N= \frac{L}{a}$.

Tenga en cuenta que para un sólido real,$a$es típicamente unos pocos angstrom, que es$10^{-8}$cm. De este modo$N \approx 10^8$, que es un número enorme. El espacio entre los niveles de energía es como máximo$\frac{ \pi^2}{2mL^2} ( \frac{ 2L}{a}) = \frac{ \pi^2}{mLa}$. Al mismo tiempo, la energía máxima es$E_{max} = \frac{k_N^2}{2m} = \frac{\pi^2}{2m} \frac{L^2}{a^2}$. Los estados cuánticos forman un conjunto discreto de puntos con energía entre$0$y$E_{max}$.$E_{max}$se llama ancho de banda. La relación entre la división y el ancho de banda es

$\frac{2a}{L} \approx 10^{-8}$

Aunque hay un espectro discreto, la distancia en energía entre estados es tan pequeña que básicamente forma un continuo.