¿F(x)=1f(x)=1f(x) = 1 pertenece al espacio de Hilbert del pozo cuadrado infinitamente profundo?

Deje que el cuadrado esté en el intervalo ( 0 , π ) . En general, se postula que la función de onda de este sistema debe desaparecer en los puntos finales, es decir, gramo ( 0 ) = gramo ( π ) = 0 .

La función F ( X ) ≡ 1 no cumple esta condición. Pero se puede expandir en términos de los estados propios { pecado ⁡ norte X } ,

F ( X ) = 4 π ( pecado ⁡ X + 1 3 pecado ⁡ 3 X + 1 5 pecado ⁡ 5 X + … ) .

Por lo tanto, debería pertenecer al espacio de Hilbert generado por los estados propios, ¿verdad?

Por otro lado, por la expansión, este estado tiene energía infinita, lo que lo convierte en un estado inválido.

Respuestas (1)

Generalmente, el espacio de Hilbert para el pozo cuadrado infinito se toma como

L 2 ( [ 0 , π ] ) = { F : [ 0 , π ] → C   |   | F | 2  es Lebesgue integrable,  ∫ 0 π | F ( X ) | 2 d X < ∞ } ,
así que la respuesta es sí .

Por otro lado, su función no satisface las condiciones que requerimos del conjunto de estados físicos en el pozo, ni pertenece al dominio del hamiltoniano, los cuales son subconjuntos estrictos del espacio de Hilbert.

Es un hecho incómodo que algunas* configuraciones en QM que involucran espacios de Hilbert de dimensión infinita den lugar a estados que viven en el espacio de Hilbert del problema pero que no estamos dispuestos a considerar como estados físicos. Esta es una desafortunada consecuencia del hecho de que nos gusta la propiedad de espacios de Hilbert cerrados bajo superposiciones infinitas, pero las condiciones que nos gusta imponer a los estados para llamarlos 'físicos' no están cerradas bajo esas superposiciones infinitas. Entonces, ya sabes, ugh. Pero es lo que es, y hacemos todo lo posible para mantener las cosas lo mejor etiquetadas posible.

* en realidad, por "algunos", me refiero a todas las configuraciones en QM que involucran espacios de Hilbert de dimensión infinita. Este comportamiento es genérico y aparece en todas partes; es fácil encontrar ejemplos.

Entonces, ¿cuál es el dominio del hamiltoniano?
Básicamente, el conjunto de todas las funciones ψ tal que H ψ todavía está en L 2 ( [ 0 , π ] ) . Sin embargo, si está seriamente preocupado por estos problemas, vale la pena sentarse durante mucho tiempo con un libro de texto de análisis funcional.
"Esta es una desafortunada consecuencia del hecho de que nos gusta la propiedad de superposiciones cerradas bajo el infinito de los espacios de Hilbert, pero las condiciones que nos gusta imponer a los estados para llamarlos 'físicos' no están cerradas bajo esas superposiciones infinitas". ¿Podría tener una referencia o dos para leer más sobre esto? ¿Y te refieres al postulado de los observables hermitianos cuando afirmas "las condiciones que nos gusta imponer a los estados para llamarlos 'físicos'"? ¿O te refieres a la normalización? Agradezco su comprensión de estas consultas.
@N.Steinle pregúnteles por separado.
¿F(x)=1f(x)=1f(x) = 1 pertenece al espacio de Hilbert del pozo cuadrado infinitamente profundo?
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