¿Es correcta esta demostración del teorema fundamental del cálculo?

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¿Es correcta esta demostración del teorema fundamental del cálculo?

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usuario62831

Un estudiante amigo mío me dio recientemente una demostración del teorema fundamental del cálculo que no se corresponde con ninguna que pueda encontrar en los libros de texto. Comienza considerando una función continua creciente y tomando el área de un rectángulo delgado rematado con un triángulo creado al sumar a la $x$ valor (como la entrada de wikipedia para el teorema):

\begin{aligned} A (X + h) & = A (X) + h A^{'} (X) \\ h A^{'} (X) & = A (X + h) - A (X) \\ = h F (X) + \frac{1}{2} h \cdot h F^{'} (X) \end{aligned}

$\begin{align} A(x + h) & = A(x) + hA'(x)\\ hA'(x)& = A(x + h) - A(x)\\& = hf(x) + \frac12h\cdot hf'(x) \end{align}$

dónde $A$ es la función de área, $h$ es el valor agregado, el primer término de la derecha es el área del rectángulo y el segundo término de la derecha es el área del triángulo. El $hf'(x)$ término es la proyección que forma el lado vertical del triángulo. Aparentemente, la curva puede estar compuesta por pequeñas líneas rectas que hacen posible el triángulo. El siguiente paso es:

\begin{aligned} h A^{'} (X) & = h F (X) \\ A^{'} (X) & = F (X) \end{aligned}

$\begin{align} hA'(x) &= hf(x)\\ A'(x) & = f(x) \end{align}$

RHS 2 se descarta porque $h^2$ es despreciable. ¿Es esta prueba legítima? Si es así, ¿por qué no está en los libros de texto? Parece mucho más simple que las alternativas.

Michael Hardy

Pareces asumir que

A^{'}

$A'$ existe, mientras que yo habría tomado eso como parte de lo que debía probarse.

Respuestas (3)

¿Es correcta esta demostración del teorema fundamental del cálculo?

Pareces asumir que $A'$ existe, mientras que yo habría tomado eso como parte de lo que debía probarse.

Juan Hughes · Answer 1

Es un buen comienzo. Pero hay tres problemas.

Se supone que las integrales y las áreas son lo mismo. Es cierto que la integral se definió para tratar de generalizar los cálculos de área estándar, pero ¿estás seguro de que tiene éxito? Si no, probar cosas sobre áreas no prueba cosas sobre integrales (que involucran sumas inferiores y superiores, etc.).
La afirmación de que A(x + h) = A(x) + hA'(x)es falsa. Lo que es cierto es que el lado derecho es una muy buena aproximación del lado izquierdo, bajo ciertas suposiciones, y mejora cada vez más a medida que $h$ se vuelve más pequeño
Esa misma afirmación asume implícitamente que la función de área $A$ es diferenciable. Si bien la mayoría de los usos de la FTC dependen del hecho de que la derivada de $A$ es $f$ , la parte más profunda del teorema es que $A$ es diferenciable en absoluto. Una vez que sabes eso, calcular la derivada no es tan difícil. :)

Los detalles que están ocultos en estas dos cosas son precisamente lo que realmente manejan todas esas pruebas de "libro".

Por otro lado, una imagen y un boceto de prueba como este es una gran idea para motivar la afirmación del teorema y para guiar al estudiante a una prueba más completa y correcta.

Con respecto al punto 2, ¿puedo llamar la atención de los OP sobre el teorema de Taylor: en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem
De acuerdo... aunque el teorema de Taylor quiere que su función sea diferenciable, y parte de la conclusión de la FTC es que $A$ en realidad es diferenciable. Agregaré eso a mi respuesta.
"No es demostrar que es verdad, sino demostrar que es plausible" es un buen eslogan para esto.
Esa es una gran manera de decirlo. Y no es un mal primer paso para cualquier pregunta matemática: antes de intentar escribir una prueba completa, al menos convénzase de que lo que está tratando de probar es plausible.
Una versión alternativa (jokey): "¿Podrías convencer a un físico con eso?"
@ Semiclassical ¿Hay pruebas de plausibilidad para las que no tenemos pruebas de verdad? ¿O mejor aún, que tenemos pruebas de lo contrario?
@Cruncher: bastantes: la conjetura de Collatz, la inexistencia de números primos de Fermat adicionales, la hipótesis de Riemann ... cada uno de ellos tiene evidencia bastante plausible, pero no se conoce ninguna prueba. No estoy seguro de saber lo que está pidiendo con la última parte de su consulta.
@JohnHughes, ¿cómo no son iguales las integrales y las áreas? La integral, tal como se define en una función continua, es el área exacta debajo de la curva (una variable) (no una aproximación). ¿Puedes explicarme mas?

Michael Hardy · Answer 2

El teorema afirma que $A'$ existe y es igual $f$ . El argumento dado parece asumir $A'$ existe, en lugar de tratarlo como parte de lo que se iba a demostrar.

Puedes argumentar de la siguiente manera.

Suponer $f$ es continuo

\begin{matrix} (1) & \frac{A (X + h) - A (X)}{h} = \frac{1}{h} \int_{X}^{X + h} F (t) d t \end{matrix}

$\frac{A(x+h)-A(x)}{h} = \frac 1 h \int_x^{x+h} f(t)\,dt \tag 1$ Dado

ε > 0

$\varepsilon>0$ , podemos decir eso

f (t)

$f(t)$ se queda entre

f (x) \pm ε

$f(x)\pm\varepsilon$ si

h

$h$ está lo suficientemente cerca de

0

$0$ . De ahí la expresión del lado derecho en

(1)

$(1)$ está entre

\frac{1}{h} \int_{X}^{X + h} (F (X) \pm ε) d t = \frac{1}{h} (F (X) \pm ε) h = F (X) \pm ε .

$\frac 1 h \int_x^{x+h} (f(x)\pm\varepsilon)\,dt = \frac 1 h (f(x)\pm\varepsilon)h = f(x)\pm\varepsilon.$ Entonces podemos hacer

\frac{A (x + h) - A (x)}{h}

$\dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}$ tan cerca como se desee de

f (x)

$f(x)$ haciendo

h

$h$ lo suficientemente cerca de

0

$0$ .

En otras palabras $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}=f(x)$ . De este modo $A'(x)$ existe y es igual a $f(x)$ .

mvw · Answer 3

Tal vez fue en los primeros libros.

Esta argumentación geométrica recuerda los primeros trabajos sobre curvas geométricas de alrededor de 1650-1700, esos científicos (Gregory, Barrow, Leibniz, Newton) descubrieron y conocían esa relación entre el área bajo una curva y esa curva.

Para citar de esta agradable charla:

David M. Bressoud: Reflexiones históricas sobre el teorema fundamental del cálculo (integral)

La declaración moderna de la FTIC es el resultado de siglos de refinamiento de la comprensión original y requiere un análisis considerable para que los estudiantes la entiendan y la aprecien.

Entonces, hay razones por las que no se hace de esta manera en los textos modernos.

Al final, incluso se abandonó la idea de asignar un "área" significativa a todos los subconjuntos del plano, después de reconocer algunos casos complicados. Ver Maßproblem

Aquí hay algunos enlaces históricos si desea ver los primeros métodos.

Ver Newton aquí o
Leibniz aquí .

¿Es correcta esta demostración del teorema fundamental del cálculo?

usuario62831

Michael Hardy

Respuestas (3)

Juan Hughes

limón

Juan Hughes

Semiclásico

Juan Hughes

Semiclásico

Triturador

Semiclásico

Mermelada

Michael Hardy

mvw

¿Cómo demuestro que etA=limn→∞((I−tAn)−1)netA=limn→∞((I−tAn)−1)ne^{tA}=\lim_{n\rightarrow\infty} (( Yo-\frac{tA}{n})^{-1})^n?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Acerca de la gráfica de r=sin(2θ)r=sin⁡(2θ)r=\sin (2 \theta) en coordenadas polares

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

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