¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

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¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

limites
análisis
cálculo
Matemáticas
análisis real
secuencias y series

MatemáticasLicenciatura

Tengo esta pregunta, encontrar el límite de la secuencia

a_{norte} := \frac{{norte}^{2001}}{{1.001}^{norte}}

$a_n:= \frac{n^{2001}}{1.001^n}$ como

n \to \infty

$n \to \infty$ .

Supongo que el límite es $0$ debido a la exponencial en el denominador, y también supongo que debo usar el teorema de compresión para mostrar esto, pero me resulta difícil encontrar dos límites que tiendan al mismo límite. ¿O necesito usar un teorema diferente?

Todavía no hemos usado logaritmos para resolver límites y este ejercicio debe completarse usando teoremas y reglas como el teorema de compresión, prueba de razón, reglas de suma/producto/cociente, etc.

Respuestas (4)

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

mookid · Answer 1

Solo necesita el límite superior, ya que $a_n\ge 0$ .

Entonces, puedes probar por inducción que

\frac{{norte}^{2001}}{{1.001}^{norte}} \leq \frac{C}{norte}

$\frac{ n^{2001}}{1.001^n} \le \frac Cn$ por cierto

C

$C$ .

Me refería a encontrar un valor mayor y un valor menor que ambos tiendan al mismo límite de modo que, por el teorema del apretón, a_n tienda al mismo límite.

Timbuc · Answer 2

Ok, entonces la proporción es:

\frac{a_{norte + 1}}{a_{norte}} = \frac{(norte + 1)^{2001}}{{1.001}^{norte + 1}} \cdot \frac{{1.001}^{norte}}{{norte}^{2001}} = {(1 + \frac{1}{norte})}^{2001} \cdot \frac{1}{1.001} \to_{norte \to \infty}^{} \frac{1}{1.001} < 1

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2001}}{1.001^{n+1}}\cdot\frac{1.001^n}{n^{2001}}=\left(1+\frac1n\right)^{2001}\cdot\frac1{1.001}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac1{1.001}<1$

y así la sucesión converge a cero.

usuario2345215 · Answer 3

Podrías tomar un logaritmo:

2001 en norte - norte en 1.001 = (2001 - \frac{norte}{en norte} en 1.001) en norte

$2001\ln n - n\ln 1.001=\Bigl(2001-\frac n{\ln n}\ln 1.001\Bigr)\ln n$ esto va a

- \infty

$-\infty$ porque

\frac{n}{\ln n}

$\dfrac n{\ln n}$ va a

\infty

$\infty$ .

pierre alvarez · Answer 4

$\ln(a_n)=2001\ln(n)-n\cdot\ln(1.001)=\ln(n)\cdot(2001-\frac{n}{\ln(n)}\cdot1.001)$

el límite de $2001-1.001\frac{n}{\ln(n)}$ es $-\infty$ y $\infty \times (-\infty)= - \infty$ por lo que el límite de $\ln(a_n)$ es $-\infty$

Qué pasa con la $\ln n$ delante de los corchetes, ¿por qué podemos descuidarlo?
limite de $ln(n)$ es $\infty$ y el límite de lo que está dentro de los paréntesis es $-\infty$ por lo que el límite del producto es claramente $-\infty$

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pierre alvarez

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

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