¿Podemos asumir con seguridad Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} siempre en QM?

Question

¿Podemos asumir con seguridad Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} siempre en QM?

Rajesh D.

En la partícula en una caja, el oscilador armónico y en el átomo de hidrógeno, podemos suponer con seguridad

Ψ (X, t) = ψ (X) {mi}^{- i ω t} .

$\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\omega t}.$ Entonces, ¿por qué no convertir en un postulado considerar que la función de onda siempre está en la forma

ψ (X) {mi}^{- i ω t}

$\psi(x)e^{-i\omega t}$ Todavía podemos explicar todos los experimentos fundamentales, así que mi pregunta es por qué no hacer esta enmienda a la teoría para que podamos evitar muchas pesadillas y algo de tranquilidad. ¿Por qué considerar innecesariamente cosas tan generales cuando podemos prescindir de cosas simples la mayor parte del tiempo?

Oh, mi pregunta real es ¿dónde nos encontramos con problemas (situaciones/experimentos físicos prácticos) si consideramos tal cosa? Si nos encontramos con problemas en algún lugar, espero hacer otros cambios simples para solucionarlos, pero sin volver a este.

Respuestas (4)

¿Podemos asumir con seguridad Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} siempre en QM?

Stan Liou · Answer 1

No es general. Tanto para la oscilación armónica como para el átomo de hidrógeno, tenemos un hamitloniano $\hat{H} = -\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2 + V$ con un potencial independiente del tiempo, lo que implicaba que la ecuación de valores propios $\hat{H}\Psi(x,t) = E\Psi(x,t)$ es separable y, por lo tanto, podemos escribirlo como un producto de un factor independiente del tiempo y un factor independiente del espacio.

En otras palabras, $\Psi(x,t) = \Psi(x)e^{-i\omega t}$ es algo que obtenemos para los estados propios de energía con un hamiltoniano independiente del tiempo. Una solución general es una superposición de múltiples estados propios de energía y no tendrá esa forma.

Usted dice hamiltoniano independiente del tiempo, y al mismo tiempo involucra múltiples estados propios de energía, entonces mi pregunta es ¿cuál es la energía total que se conserva en tal ecuación de Schrödinger?
@DavidZ: Nuevamente, estos son artificiales y no se exigen realmente de la ecuación de Schrödinger o de la conservación de la energía. Según tengo entendido, estas múltiples energías propias están incrustadas en la función de onda y no son generadas por el potencial V(x) o por el hamiltoniano, ¿verdad?
Lo que quiero decir es que estos están configurados y no se siguen directamente de la ecuación de Schrödinger.
@RajeshD: No. Los valores propios de la energía son el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, los genera directamente. En particular, $\hat{H}\Psi_n = E_n\Psi_n$ . Dado que la ecuación de Schrödinger es lineal, cualquier superposición de estados propios es una solución, y el hecho de que cubra todas las soluciones se deriva de la hermiticidad del hamiltoniano.
Sí, como dice Stan, el hamiltoniano induce un conjunto de estados estacionarios, exactamente de la misma manera que los vectores propios y los valores propios de una matriz cuadrada son cosas que están ligadas directamente a esa matriz. Las funciones de onda se derivan directamente de la ecuación de Schrödinger para cualquier problema que se presente cuando lo resuelva.
@StanLiou: Ah, ahora veo, hay muchas energías posibles para diferentes números cuánticos y la combinación de revestimiento (multiplicada por los valores de energía) de las funciones de estado correspondientes también es una solución para el SE. Tan tonto de mí, pero la confusión o el nombre inapropiado surgió del hecho de que la mayoría de los textos y sitios web en realidad no escriben la solución general, que es una combinación lineal.

kyle kanos · Answer 2

Otra razón, aún no mencionada, es la superposición.

Para las técnicas de separación de variables, encontramos $\Psi(\mathbf{x},t)=\psi(\mathbf{x})f(t)$ dar

\begin{matrix} (1) & \frac{i ℏ}{F (t)} \frac{d F}{d t} = mi = [\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \nabla^{2} + V (X)] ψ (X) \end{matrix}

$\frac{i\hbar}{f(t)}\frac{df}{dt}=E=\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{x})\right]\psi(\mathbf{x})\tag{1}$ El término del lado izquierdo da

f \propto \exp [i E t / ℏ]

$f\propto\exp\left[iEt/\hbar\right]$ , dándonos

\begin{matrix} (2) & ψ (X, t) = ψ (X) {mi}^{i mi t / ℏ} \end{matrix}

$\psi\left(\mathbf{x},t\right)=\psi(x)e^{iEt/\hbar}\tag{2}$ Pero este es un estado estacionario , pero la partícula que describe la Ecuación (1) no es estacionaria. Así, tenemos que la solución general es una superposición lineal de estados:

ψ (X, t) = \sum_{i} C_{i} ψ_{i} (X) {mi}^{i {mi}_{i} t / ℏ}

$\psi\left(\mathbf{x},t\right)=\sum_ic_i\psi_i(x)e^{iE_it/\hbar}$

Que no se puede separar en una forma tal como la Ecuación (2).

Sí, incluso con un hamiltoniano independiente del tiempo, solo las funciones propias son generalmente independientes del tiempo.
Esta es esencialmente la misma respuesta que la de Stan Liou. No estoy siendo crítico, +1: es una buena respuesta, y siempre es bueno tener varias explicaciones de lo mismo (diferentes estilos de escritura se adaptan a diferentes mentes): solo hago el comentario para que otros lectores no entiendan se confunden y tienen claro que son respuestas muy parecidas.
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Veo esto ahora. Supongo que no había leído la última oración de su respuesta.
@Kyle: Usted dice hamiltoniano independiente del tiempo, y al mismo tiempo involucra múltiples estados propios de energía, entonces mi pregunta es ¿cuál es la energía total que se conserva en tal ecuación de Schrödinger?
@KyleKanos Sin problemas: como dije: deje su respuesta, ya que es buena y definitivamente podría ser útil para alguien que se enfrenta a todo esto como material nuevo.
@RajeshD La energía total no se define de manera única cuando el sistema está en un estado mixto. Una medida de la energía cambiaría eso (y obtendrías cada $E_i$ con probabilidad $|c_i|^2$ ) pero también cambiaría el estado para que sea el estado propio correspondiente.
@dmckee: Seguramente quiso decir un estado no estacionario o superposición de estados propios de energía. Aquí estamos tratando con estados puros, y aunque también son estados mixtos por defecto, un estado mixto podría tener una energía definida de forma única ( $\rho = |E_n\rangle\langle E_n|$ , decir).
@dmckee: Esto es muy esclarecedor, ¿podría darme alguna buena referencia o ejemplo?
@RajeshD: la declaración de dmckee, si se entiende que se refiere a superposiciones, se deriva directamente de la regla de Born.
@Stan Liou: y dmckee: Nuevamente, estos son artificiales y no se exigen realmente de la ecuación de Schrödinger o de la conservación de la energía. Según tengo entendido, estas energías propias múltiples están integradas en la función de onda y no son generadas por el potencial $V(x)$ o del hamiltoniano, ¿verdad?
Sigues usando esa palabra "artificial". ¿Qué crees que significa? Los estados propios y su espectro son una consecuencia del hamiltoniano. Si tienes una superposición, eso significa que no conoces la energía del estado. No sorprende que no sepa qué energía obtendrá si mide la energía. Esta es una tautología.
@RajeshD: la ecuación de Schrödinger es lineal, por lo que cualquier superposición de soluciones es una solución. Por lo tanto, casi nunca se tiene un solo estado propio para una solución general del SE. La conservación de la energía se deriva de la independencia del tiempo del hamiltoniano, pero de lo contrario no se mantendrá. La conexión con las probabilidades de los resultados de la medición y lo que sucede después de la medición no lo exige SE, sino la regla de Born. Y como dijo dmckee, los valores propios de la energía son el espectro del hamiltoniano.
He estado buscando otros recursos sobre este tema y me preguntaba si podrías explicar por qué no hay un negativo en tu "f" como otras fuentes dicen que es e^-iE...

dmckee --- gatito ex-moderador · Answer 3

Sólo cuando $V(\mathbf{x},t) = V(\mathbf{x})$ , de lo contrario, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo no se separa en partes similares al tiempo y al espacio.

Cualquier dependencia temporal explícita en el problema y no se puede.

Esta Declaración y la respuesta de Stan Liou deben estar grabadas en relieve en cada libro de texto de QM con un tamaño de fuente grande en la portada. Solo para que los estudiantes se relajen y también el hecho de que nunca buscamos los potenciales dependientes del tiempo. Todo el mundo empieza a escribir. $\Psi(x,t)$ , que nunca van a usar, ¡solo para asustar a la gente!
@RajeshD: Malas noticias: la teoría de la perturbación dependiente del tiempo es bastante estándar para QM de pregrado. Aunque incluso si $\hat{H}$ es independiente del tiempo, aún se encontrará con situaciones en las que necesita un estado no estacionario.

matthew tetworth · Answer 4

En una línea diferente a las otras respuestas, un ejemplo de problema físico en el que la solución no es separable es uno considerado en Sakurai 2nd Edition, Chapter 2.1, Pgs. 70 y 71 donde tenemos un momento magnético de espín en presencia de un campo magnético cuya intensidad puede cambiar con el tiempo Ie $B(t)\neq B(0)$ , o aún más problemático cuando la magnitud y la dirección del campo magnético cambian con el tiempo. En ambos casos, el hamiltoniano depende del tiempo, por lo que la solución no es separable.

¿Podemos asumir con seguridad Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} siempre en QM?

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