No entiendo la integral sobre el cuadrado de la función delta de Dirac

Bueno, la función delta de Dirac $\delta(x)$es una distribución , también conocida como función generalizada.

Uno puede, por ejemplo, representar $\delta(x)$como límite de un pico rectangular con unidad de área, ancho$\epsilon$y altura$1/\epsilon$; es decir

$$\tag{1} \delta(x) ~=~ \lim_{\epsilon\to 0^+}\delta_{\epsilon}(x),$$ $$\tag{2} \delta_{\epsilon}(x)~:=~\frac{1}{\epsilon} \theta(\frac{\epsilon}{2}-|x|) ~=~\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{\epsilon}&\text{for}& |x|<\frac{\epsilon}{2}, \\ \frac{1}{2\epsilon}&\text{for}& |x|=\frac{\epsilon}{2}, \\ 0&\text{for} & |x|>\frac{\epsilon}{2}, \end{array} \right.$$

dónde$\theta$denota la función de paso de Heaviside con$\theta(0)=\frac{1}{2}$.

El producto$\delta(x)^2$de las dos distribuciones delta de Dirac estrictamente hablando no$^1$tiene sentido matemático, pero para fines físicos, intentemos evaluar la integral del cuadrado de la función delta regularizada

$$\tag{3} \int_{\mathbb{R}}\! dx ~\delta_{\epsilon}(x)^2 ~=~\epsilon\cdot\frac{1}{\epsilon}\cdot\frac{1}{\epsilon} ~=~\frac{1}{\epsilon} ~\to~ \infty \quad \text{for} \quad \epsilon~\to~ 0^+.$$

El límite es infinito como afirma Griffiths.

Cabe destacar que en la teoría matemática convencional de las distribuciones, la ec. (2.95) está definida a priori sólo si$f$es una función de prueba suave. En particular, no es matemáticamente riguroso usar la ec. (2.95) (con$f$sustituido por una distribución) para justificar el significado de la integral del cuadrado de la distribución delta de Dirac. No hace falta decir que si uno inserta ciegamente distribuciones en fórmulas para funciones suaves, ¡es fácil llegar a todo tipo de contradicciones! Por ejemplo,

$$\frac{1}{3}~=~ \left[\frac{\theta(x)^3}{3}\right]^{x=\infty}_{x=-\infty}~=~\int_{\mathbb{R}} \!dx \frac{d}{dx} \frac{\theta(x)^3}{3}$$ $$\tag{4} ~=~\int_{\mathbb{R}} \!dx ~ \theta(x)^2\delta(x) ~\stackrel{(2.95)}=~ \theta(0)^2~=~\frac{1}{4}.\qquad \text{(Wrong!)}$$

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$^1$Ignoramos la teoría de Colombeau . Vea también esta publicación de mathoverflow.

No necesitas nada más que tu comprensión de

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$$ Simplemente trate una de las funciones delta como $f(x)\equiv\delta(x-\lambda)$en tu problema Así que sería algo como esto: $$\int\delta(x-\lambda)\delta(x-\lambda)dx=\int f(x)\delta(x-\lambda)dx=f(\lambda)=\delta(\lambda-\lambda)$$ Ahí vas.

Supongamos que quiero mostrar

$$\int \delta(x-a)\delta(x-b)\; dx = \delta(a-b)$$ Para hacer eso, necesito mostrar $$\int g(a)\int \delta(x-a)\delta(x-b) \;dx \;da = \int g(a)\delta(a-b)\; da$$ para cualquier función $g(a)$. $$\begin{align}\textrm{LHS}& = \int \int g(a) \delta(x-a)\;da \ \delta(x-b) \;dx\\ &=\int g(x)\delta(x-b)\;dx \\&=g(b) \end{align}$$ Pero $\textrm{RHS}$claramente $=g(b)$también.

El resultado sigue poniendo$a=b=\lambda$