¿Problema abierto? Cuadrado de la función de onda Ψ(x)xo=δ(x−x0)Ψ(x)xo=δ(x−x0)\Psi(x)_{x_o} = \delta(x-x_0) de una partícula localizada en un punto x0x0x_0?

Hablando matemáticamente, dado que desea que sus funciones de onda sean integrables al cuadrado, sus funciones de onda deben estar en$L^2$o algún subespacio del mismo. Sin embargo, no encontrará una función en este espacio que tenga un soporte en un conjunto contable de puntos, ya que la integral de Lebesgue no puede ver conjuntos contables (medida 0), por lo tanto, no puede haber una función (es decir, ninguna función de onda) con soporte en un solo punto (por cierto, la función delta no es una "función" de alguna manera por esa razón).

Esto nos dice que una función de onda para una partícula que está completamente localizada no puede definirse en el entorno habitual de funciones cuadradas integrables de Lebesgue, lo cual no es demasiado trágico, porque de todos modos no creemos que tenga sentido físico.

No puedo entender la respuesta de Martin, aunque creo que hay una excelente respuesta física al OP.

La mayoría de la gente olvida que el delta de Dirac se puede aproximar mediante muchas funciones, como algún parámetro (digamos,$\sigma$) tiende a cero. Una de esas clases de funciones es, por supuesto,$f(x) = (\sqrt{\pi}/\sigma) exp (-x²/\sigma²)$. Tomemos esto como una aproximación a la distribución de probabilidad ( no a la función de onda) de un estado cuántico que representa una partícula confinada en el origen de coordenadas. Esta función es suave, integrable, normalizada a 1.

Su función de onda asociada,$\phi(x) = (\sqrt{\pi}/\sigma)^{1/2} exp (-x²/(2\sigma²))$también es suave e integrable en el mismo intervalo, y el valor de esta integral$\rightarrow 0$como$\sigma \rightarrow 0$.

Pero realmente no nos importa la integrabilidad de la función de onda per se , solo que produce resultados significativos cuando calculamos las amplitudes de transición. Y para una función de onda arbitraria$\psi(x)$la amplitud de transición es siempre proporcional a

$\int \psi(x) \phi^*(x) dx$

que se puede calcular fácilmente a partir de lo anterior en el límite$\sigma \rightarrow 0$: siempre rinde$0$, a menos que$\psi(x) = \phi(x)$, en cuyo caso se obtiene$1$. ¿Esto tiene sentido? Sí lo hace: siempre que$\psi$no es la función de onda de una partícula confinada en el origen ( es decir , cuando representa una partícula confinada en otro lugar, o cuando representa una partícula que no está confinada en absoluto) las dos funciones de onda son ortogonales porque representan estados físicos completamente diferentes: la integral arriba (cuando se eleva al cuadrado) es la probabilidad de que se encuentre un estado cuántico arbitrario precisamente en el origen, que por supuesto es cero tanto para distribuciones de probabilidad uniformes como para partículas confinadas en un punto que no es el origen.

Por lo tanto, tiene perfecto sentido que la integral anterior desaparezca, a menos que$\psi=\phi$cuando debe dar certeza ($=1$).

En resumen, la función de onda de un estado que representa una partícula confinada en el origen existe, es suave e integrable siempre que$\sigma > 0$, pero no nos preocupamos por eso (al menos desde un punto de vista físico) porque la función de onda no es en sí misma un observable, porque lo único que nos importa es que existan amplitudes de transición, y estas existen y tienen sentido físico incluso en el límite$\sigma\rightarrow 0$.

El método de reemplazar el delta de Dirac con sus aproximantes a menudo conduce a respuestas bastante sensatas.

La mayoría de los científicos están de acuerdo en que todavía hay algunos problemas de interpretación en QM, por lo que es difícil hacer afirmaciones inequívocas. En mi opinión, los estados puros cuánticos simples puntuales (es decir, los "rayos" del espacio de Hilbert) no son físicamente medibles o incluso físicamente realizables. Son idealizaciones de entropía cero y, por lo tanto, no son realizables por la declaración de Nernst de la tercera ley de la termodinámica. Ninguna propiedad de objeto físico puede manifestar existencia en un intervalo de espacio-tiempo de extensión cero, por ejemplo, ningún objeto puede manifestar una posición de número real, ni siquiera su CG. Esto significa que cada estado cuántico realizable es un estado mixto de múltiples estados puros incoherentes que existen simultáneamente. (Son superposiciones incoherentes, de lo contrario serían expresables como una suma coherente de estados puros, es decir, un solo componente, entropía cero, estado puro). Esto, sin embargo, arroja dudas sobre la interpretación de probabilidad de QM. La métrica vertical adecuada que debe aplicarse a la magnitud al cuadrado de una distribución cuántica de estado mixto realizable debe ser una métrica física u óntica, no una probabilidad. Entonces, OP, los valores propios numerados reales (como puntos) no son físicamente realizables, todos los valores de propiedades físicas manifiestas son distribuciones, no números reales.