¿Paradoja del examen sorpresa?

Existe un modelo de conocimiento , esencialmente debido a Robert Aumann, en el que el conocimiento está representado por una partición$\Pi$de un conjunto de estados del mundo $\Omega$. Si el verdadero estado del mundo es$\omega$, el agente con partición$\Pi$solo sabe que algún estado en la celda$\pi(\omega)$(el valor de la proyección en$\omega$) obtenido. Un evento es simplemente un subconjunto de$\Omega$. Decimos que un agente sabe que el evento$E$obtiene en$\omega$si$\pi(\omega)\subseteq E$. Ahora sea el espacio de estado$\Omega=\{1,2,\ldots,T\}$, donde interpretamos$t$como "hay un examen en$t$". Ahora no hay partición$\Pi$tal que se cumple lo siguiente:

1. El estudiante no sabe exactamente en qué fecha es el examen en ningún estado.
2. Si no hubiera examen en$\{1,\ldots,t-1\}$, entonces el estudiante sabe esto en$t$.

Prueba: Deja$t$ser un elemento en$\Omega$tal que$\pi(t)$no es un singleton. Tal elemento debe existir por 1. Sea$t'$ser el elemento más grande en$\pi(t)$. por supuesto$t'>t$y así por 2.,$\{1,\ldots,t'-1\}$es una union de celulas en$\Pi$eso contiene$t$. Desde$\Pi$es una partición,$\pi(t)\subseteq\{1,\ldots,t'-1\}$, contradiciendo$t'\in\pi(t)$.

Entonces, al menos usando el modelo de conocimiento usado anteriormente, la paradoja del examen sorpresa no puede formularse de manera coherente.

En el capítulo 43 de The Colossal Book of Mathematics de Martin Gardner (Nueva York: WW Norton & Company, 2001) se puede encontrar una muy buena discusión sobre la inesperada paradoja del ahorcamiento. Se incluyen numerosas referencias.

Gardner, citando a O'Beirne, afirma que "la clave para resolver la paradoja radica en reconocer que una declaración sobre un evento futuro puede ser conocida como una predicción verdadera por una persona, pero que otra no lo sepa hasta después del evento. "

El profesor que da el examen sorpresa "sabe que su predicción es acertada. Pero la predicción no puede usarse para respaldar una cadena de argumentos que eventualmente resulta en desacreditar la predicción en sí misma. Es esta autorreferencia indirecta la que [...] arroja el llave inglesa en todos los intentos de demostrar que la predicción no es sólida".

Véase también "El examen sorpresa o la paradoja del ahorcamiento inesperado". Timoteo Y. Chow. Amer. Matemáticas. Monthly 105 (1998) 41-51, cuya versión en pdf está aquí .

Todo depende de la definición de "examen sorpresa".

Si el docente afirma que definitivamente se va a dar un examen de tal forma que en cualquier mañana del trimestre hasta el último día los estudiantes nunca podrían saber con certeza que ese día estaba programado un examen, el docente ha hablado en falso, ya que, si no se hubiera hecho un examen dado el penúltimo día, los estudiantes sabrían con certeza que el examen fue el último día.

Sin embargo, si el maestro afirma que definitivamente se dará un examen sin anunciar en algún momento del período, parece justo llamarlo un "examen sorpresa", ya que solo se puede predecir con certeza el último día de la clase. examen si todos los demás no lo hubieran hecho. E incluso entonces, la certeza del examen solo se conocería durante 24 horas (no hay mucho tiempo para estudiar el material de un trimestre completo). Todos los demás días tendrían una incertidumbre significativa. La estrategia del maestro para mantener a los estudiantes alerta funcionaría.

Entonces, la paradoja de su pregunta surge cuando dice: "Matemáticamente parece que debería serlo, pero eso implicaría que los exámenes sorpresa no son posibles ( y lo son )". Los exámenes sorpresa del primer tipo no son posibles. Los exámenes sorpresa del segundo tipo son. Cuando aclaras las definiciones, no hay paradoja.

Si el estudiante es lo suficientemente brillante como para demostrar que un examen "sorpresa" es imposible, entonces sin duda sería una sorpresa para el estudiante, independientemente de la fecha del examen.

Hay muchas formas de formalizar la paradoja, en muchos campos diferentes, y el artículo (de T. Chow) citado por Joel Reyes Noche, hace un buen trabajo de revisión.

Sin embargo, una cosa que siempre me ha molestado, es que en la mayoría de los trámites, el examen sorpresa puede tener lugar en el último día, tan legítimamente como en cualquier otro día. En mi opinión, esto no transmite el significado intuitivo de "sorpresa".

Un nuevo enfoque, dado por Ran Raz aquí , no sufre de esta falacia. Sigue la formalización lógica "estándar", en la que "sorpresa" significa "el día exacto no se puede probar de antemano (usando la declaración), por el hecho de que aún no ha ocurrido", pero agrega la cláusula "o puede ser probado que cae en días diferentes" (ya que, obviamente, si se pueden probar hechos opuestos, es difícil decir que los estudiantes "saben" algo). Ahora, lo interesante es que el examen no puede realizarse el último día, pero el argumento de inducción falla debido a la indemostrabilidad de la consistencia del sistema lógico (también conocido como "Segundo teorema de incompletitud de Godel").

Encuentro este enfoque interesante y refrescante.

La falacia ya comienza con la primera suposición:

1. El maestro no puede esperar hasta el último día de clases, porque entonces el examen no será inesperado. Así que no puede ser el último día.

El alumno no puede saber si habrá un examen aunque el profesor se lo haya dicho. Así que sigue siendo una sorpresa si sucede el último día. Y como el maestro dijo que sería una sorpresa, el estudiante ni siquiera consideraría que sucediera ese día.

Bien, trato de explicarlo más formalmente. Por supuesto, trabajo con la suposición de que el maestro siempre está diciendo la verdad, toda la verdad y nada más que la verdad. De lo contrario, ni siquiera sabría si el examen ocurre en absoluto. Así que no podrías esperarlo.

El estudiante usa las tres afirmaciones

1. El examen tiene lugar este año.
2. Si el examen se realiza este año y solo queda un día posible, puedo concluir que el examen se realiza ese día.
3. No puedo concluir el día antes de tiempo.

para eliminar todos los días de forma iterativa de la lista de días posibles.

Las afirmaciones 1 y 3 son del profesor. Así que asumimos que deben ser ciertas.

El estudiante refutó la afirmación 1. Por lo tanto, su prueba es defectuosa. Una de sus afirmaciones debe estar equivocada.

Las afirmaciones 1 y 3 son verdaderas. Así que claramente la afirmación 2 debe ser incorrecta.

Esto significa que el estudiante no es capaz de concluir el día aunque solo le quede un día posible.

Creo que una explicación completa debería delinear los sentidos exactos en los que esto es sorprendente y en los que conocemos ciertas proposiciones. Una vez hecho esto, no quedará nada más que explicar. Una dificultad particular es que debido a que la sorpresa se usa de manera incoherente, necesitaremos una definición contradictoria de sorpresa ("D-sorpresa") para modelar y explicar la contradicción.

Supongamos que el maestro tiene la intención de producir un conjunto de días que "S-sorprendería al estudiante" en el sentido de que no hay un conjunto de pasos deductivos que el estudiante pueda seguir en la mañana del examen que eliminaría todos los demás días como posibilidades. Si no hay días en el conjunto, entonces el director no podrá configurar el examen y no tendremos una paradoja. Primero digamos que el estudiante está "A-sorprendido" si no puede deducir en la mañana del examen que el examen se está realizando dado solo que se está realizando un día esa semana. Claramente, el estudiante estará "A-sorprendido" si sucede en cualquier día que no sea el viernes. Diremos que el estudiante está "B-sorprendido" si no puede deducir que el examen se llevará a cabo en la mañana del examen dado que el examen se realizará esa semana y que el maestro elegirá una fecha en la que el estudiante es A. -sorprendido.

Cuáles son los pasos deductivos que el estudiante puede seguir. Solo hay dos pasos D:

• Regla de tiempo: En un día D, todos los días anteriores pueden ser eliminados como posibilidades para la fecha del examen
• Regla sorpresa: si el día D es la única fecha de examen posible en el día D, entonces se puede eliminar como posibilidad

Podemos generar todos los días que serían fechas de examen válidas aplicando el algoritmo X de la siguiente manera: Primero, el profesor elimina un día del conjunto si el estudiante se sorprendería. Luego, el maestro mira el nuevo conjunto de días y ve si el estudiante se sorprendería en algún día en el nuevo conjunto, repitiendo hasta que no se eliminen puntos. Se puede observar que este proceso terminará y que los conjuntos producidos serán precisamente aquellos que D-sorprendan al estudiante.

Pero, como sabemos, este conjunto quedará vacío: no hay día que no pueda ser eliminado por la lógica del estudiante. Defina A-saber, B-saber y D-saber como no estar A-sorprendido, B-sorprendido y D-sorprendido.

Hablemos primero del conocimiento:

• Si el examen se realiza en viernes el alumno será A-saber.
• Si el examen se lleva a cabo un jueves, entonces el estudiante es B-knowing.
• En cualquier día el estudiante es casi D-saber en el sentido de que D le permitiría eliminar todos los demás días futuros y así podríamos concluir que fue hoy si esto no fuera incoherente.

Ahora hablemos de la sorpresa:

• Si el examen se lleva a cabo el viernes, entonces el estudiante no se sorprenderá.
• Si el examen se lleva a cabo el jueves, entonces el estudiante se sorprenderá.
• Si el examen se lleva a cabo un miércoles, entonces el estudiante estará A-sorprendido y B-sorprendido.
• En cualquier día, estarán casi D-sorprendidos en el sentido de que no están D-sabiendo (no podemos crear una situación en la que no estén sorprendidos en el sentido en que ya lo están al agregar las reglas D porque esto hacer que la situación sea incoherente)

En cuanto al ejemplo de la vida real, si sucede un jueves y el estudiante se queja de que no está sorprendido, el profesor puede decir que lo-sorprendió y que nunca especificó el tipo de sorpresa. Si sucede un miércoles, entonces el maestro puede decir que los sorprendió B, lo que parece más cercano a la verdadera intención ya que el estudiante no puede concluir que el examen se llevará a cabo ese día, incluso si cree al 100% que el maestro lo va a hacer. al menos A-sorpréndelos.

Un punto final. Supongamos que le decimos a un estudiante que se sorprenderá. Entonces sabrán al 100% que no es viernes. Si la prueba se lleva a cabo un jueves, experimentarán B-knowing. Este será el último día posible, por lo que podemos ver que en realidad está "bastante cerca" de A-knowing, aunque no cumple con la definición.

Estoy de acuerdo en que todo depende de la definición de "examen sorpresa". Si el examen no es una sorpresa, no hay nada que diga que no se realizará el examen. Entonces, el estudiante debería/podría concluir (pero esto no es necesariamente lo correcto) que el examen no será una sorpresa.

Estaba pensando en este problema en términos de probabilidades. Por ejemplo, el examen no es una sorpresa si el estudiante piensa que se realizará el día N y el examen se realiza en realidad el día N.

Por ejemplo, el marco de tiempo es de 1 día solamente: entonces el examen se dará hoy, el estudiante lo sabe y no hay sorpresa, 1 opciones posibles, 0 para sorpresa P = 0/1 = 0 .

El plazo es de 2 días solamente, entonces:

Day 1: exam at d1 - the student thought d1 => no surprise
       exam at d1 - the student thought d2 => surprise
       no exam at d1 (move to Day 2)
Day 2: exam at d1 => no surprise, everything is in past
       exam at d2 => no surprise

P = 1/4

El marco de tiempo es N días, entonces:

Day 1:   exam at d1 - thought d1 => no surprise
         exam at d1 - thought d2 => surprise
         ...
         exam at d1 - thought dN => surprise
         no exam at d1 (move to Day 2)
Day 2:   exam at d1 => no surprise
         exam at d2 - thought d2 => no surprise
         exam at d2 - thought d3 => surprise
         ...
         exam at d2 - thought dN => surprise
         no exam at d2 (move to Day 3)
Day 3:   exam at d1 => no surprise
         exam at d2 => no surprise
         exam at d3 - thought d3 => no surprise
         ...
         exam at d3 - thought dN => surprise
         no exam at d3 (move to Day 4)
...
Day N-1: exam at d1 => no surprise
         exam at d2 => no surprise
         exam at d3 => no surprise
         ...
         exam at dN-2 => no surprise
         exam at dN-1 - thought dN-1 => no surprise
         exam at dN-1 - thought dN => surprise
         no exam at dN-1 (move to Day N)
Day N:   exam at d1 => no surprise
         exam at d2 => no surprise
         exam at d3 => no surprise
         ...
         exam at dN-1 => no surprise
         exam at dN - thought dN => no surprise

$P = \sum_{i=1}^{N-1} \frac{i}{N^{2}} = \frac{\frac{N\cdot (N-1)}{2}}{N^{2}} = \frac{N-1}{2\cdot N}$

Solución simple :
Supongamos que reclamas y argumentas y te convences de que algún día digamos$X$, es imposible que la prueba sea imprevista.
Entonces el maestro entra en la clase el día$X$y dice "hoy es el día para escribir la prueba" y esto es algo que no esperaba (ya que está seguro de lo contrario), por lo que es imprevisto.

Creo que este es un problema de información oculta. El problema es que no existe un algoritmo para fijar la fecha del examen (que puede incluir elecciones probabilísticas), que el alumno pueda conocer, lo que no lleva a ninguna sorpresa en algunos plazos.

Por ejemplo, supongamos que el profesor decide que "hay una probabilidad del 50/50 de que el examen sea el tercer o cuarto día". Si el alumno no sabe esto, se sorprenderá cuando llegue el examen. Sin embargo, si el estudiante sabe esto, entonces hay una probabilidad de 50/50 de que no se sorprenda el cuarto día.