Explicando la prueba del número de Fibonacci usando razonamiento inductivo

Los números de Fibonacci se definen de la siguiente manera.

F 1 = F 2 = 1
Cuando norte ≥ 3 ,
F norte = F norte − 1 + F norte − 2

Tarea: Demostrar la siguiente afirmación usando inducción matemática:

  • Cuando norte ≥ 2 ,
    F norte − 1 F norte + 1 = F norte 2 + ( − 1 ) norte

El caso base:

ingrese la descripción de la imagen aquí

El paso inductivo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Estoy realmente confundido acerca del paso inductivo. La respuesta no tiene absolutamente ningún sentido para mí.

Preguntas:

  1. Para el paso inductivo, ¿por qué el área amarilla es igual al área verde?
  2. Para el paso inductivo, ¿cómo llegamos al enunciado morado y rojo?

Creo que la respuesta que me dieron es demasiado simplificada y no demuestra un razonamiento lógico claro.

Mis disculpas por cualquiera que sea daltónico. Es más fácil para mí codificar con colores las declaraciones.

Respuestas (2)

  1. La parte verde es

    F 2 ( k ) + F ( k ) F ( k + 1 ) = ( F ( k − 1 ) + F ( k ) ) F ( k + 1 ) − ( − 1 ) k = F 2 ( k + 1 ) + ( − 1 ) k + 1 ,
    es decir, la parte amarilla. Tenga en cuenta que no se supone que sea obvio en esta etapa que verde = amarillo; que lo son es lo que muestran las líneas siguientes. La parte importante es que rojo = amarillo; por eso funciona el paso inductivo. La forma en que la prueba de esto realmente comienza es reescribiendo F ( k + 2 ) como una suma para obtener la expresión verde.

  2. La parte morada es igual a la línea de arriba, sumando los coeficientes de F ( k + 1 ) y cuidando con facultades de − 1 . La parte roja reescribe el coeficiente sumado de la relación de recurrencia y luego nota que hay un cuadrado presente.

  1. Porque, por definición, F ( k + 2 ) = F ( k + 1 ) + F ( k ) .
  2. En primer lugar, − ( − 1 ) k = ( − 1 ) × ( − 1 ) k = ( − 1 ) k + 1 . Entonces,
    F ( k ) F ( k + 1 ) + F ( k − 1 ) F ( k + 1 ) = ( F ( k ) + F ( k − 1 ) ) F ( k + 1 ) .
    Entonces,
    (1) F ( k ) F ( k + 1 ) + F ( k − 1 ) F ( k + 1 ) − ( − 1 ) k = ( F ( k ) + F ( k − 1 ) ) F ( k + 1 ) + ( − 1 ) k + 1 .
    Pero, por definición, F ( k + 1 ) = F ( k ) + F ( k − 1 ) . Entonces, ( 1 ) se convierte
    F ( k ) F ( k + 1 ) + F ( k − 1 ) F ( k + 1 ) − ( − 1 ) k = ( F ( k + 1 ) ) 2 + ( − 1 ) k + 1 .
1. preguntó por la expresión verde, no por la azul.
He editado mi respuesta. Espero que todo esté claro ahora.
Explicando la prueba del número de Fibonacci usando razonamiento inductivo
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v