Prueba de divisibilidad por 18 por inducción

Question

Prueba de divisibilidad por 18 por inducción

inducción
Matemáticas
prueba-explicación

brad g

Estoy tratando de probar por inducción que $7^n + 12n + 17$ es divisible por $18$ .

El $n = 1$ El caso es claro, ya que $36$ es divisible por $m$ . Entonces $7^n + 12n + 17 = 18m$ por algún entero $m$ . Entonces necesito demostrar que $7^{n+1} + 12(n+1) + 17$ es divisible por $18$ , pero no puedo averiguar cómo hacer esto. Expandiéndolo, obtengo $7^{n+1} + 12n + 29$ . Quiero sacar un factor de $7$ y utilizar la hipótesis de inducción. Así que consideré sumar y restar $72n$ formar $84n$ , de donde puedo sacar un factor de $7$ , y de manera similar $17 \cdot 12 = 204$ . Sin embargo, no puedo hacer que el factor constante restante funcione.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Tanner

7 (7^{n} + 12 n + 17) - 72 n - 90 = 7^{n + 1} + 12 n + 29 + 72 n

$7(7^{n}+12n+17)-72n-90=7^{n+1}+12n+29+72n$

Tanner

(6 + 1)^{n} \equiv 1 + 6 n

$(6+1)^n\equiv 1+6n$ , entonces

7^{n} + 12 n + 17 \equiv 0 (\mod 18)

$7^n+12n+17\equiv0\pmod{18}$

Respuestas (3)

Prueba de divisibilidad por 18 por inducción

$(6+1)^n\equiv 1+6n$ , entonces $7^n+12n+17\equiv0\pmod{18}$

dan_fulea · Answer 1

Para el paso inductivo arreglar algunos $n$ , asumir que $7^n+12n+17$ es divisible por $18$ , y use:

\begin{aligned} 7^{norte + 1} + 12 (norte + 1) + 17 & = 7 (7^{norte} + 12 norte + 17) - 72 norte - 90 \\ = 7 (7^{norte} + 12 norte + 17) - 18 (4 norte + 5) . \end{aligned}

$\begin{aligned} 7^{n+1}+12(n+1)+17 &= 7(7^n+12n+17) -72 n-90\\ &= 7(7^n+12n+17) - 18(4n+5)\ . \end{aligned}$

elmejormago · Answer 2

Pista: se supone que $7^n\equiv -12n+1\pmod{18}$ por la inducción, entonces

7^{norte + 1} + 12 (norte + 1) + 17 \equiv 7 (6 norte + 1) + 12 (norte + 1) + 17 (modificación 18)

$7^{n+1}+12(n+1)+17\equiv 7(6n+1)+12(n+1)+17\pmod{18}$

jose carlos santos · Answer 3

Pista:

\begin{aligned} 7^{norte + 1} + 12 (norte + 1) + 17 - (7^{norte} + 12 norte + 17) & = 6 \times 7^{norte} + 12 \\ = 6 ((6 + 1)^{norte} + 2) \end{aligned}

$\begin{align}7^{n+1}+12(n+1)+17-(7^n+12n+17)&=6\times7^n+12\\&=6((6+1)^n+2)\end{align}$ y

(6 + 1)^{n} + 2

$(6+1)^n+2$ Se puede escribir como

6 k + 3

$6k+3$ , para algún entero

k

$k$ .

Prueba de divisibilidad por 18 por inducción

brad g

Tanner

Tanner

Respuestas (3)

dan_fulea

elmejormago

jose carlos santos

Prueba inductiva fuerte para la desigualdad usando la secuencia de Fibonacci

¿Hay alguna forma de determinar si un número entero se encuentra entre 2 números racionales sin conocerlos?

Correlación entre 1/10−−−−√1/10\sqrt{1/10} y longitud de potencias de números enteros.

¿Spivak usa una propiedad en su propia prueba?

Confusión - Correlación entre -1 y 1

AIME 1991 Problema de teoría de números

¿Cómo mostrar que la siguiente sucesión es monotinamente creciente?

Prueba inductiva de codificación de Fibonacci

¿Se necesita inducción si un proceso termina después de <∞<∞\lt \infty pasos?

Si fff es un camino cerrado en S1S1S^1 en 111, entonces grado(fm)=mgrado(f)grado⁡(fm)=mgrado⁡(f)\grado (f^m) = m \grado(f)