¿Inducción inversa?

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¿Inducción inversa?

inducción
Matemáticas
análisis real

brad g

Por lo general, la inducción se realiza demostrando que $P(1)$ y $P(n) \implies P(n+1)$ para todos $n$ . ¿Es posible demostrar en cambio $P(1)$ y $P(n+1) \implies P(n)$ ? Siempre que $n$ es arbitrariamente grande, parece que esto debería probar la declaración para todos $n$ .

lulú

¿Cómo funcionaría eso? Nota con el primer caso (estándar),

P (1) & P (1) ⟹ P (2)

$P(1) \,\&\,P(1)\implies P(2)$ y luego

P (1) & P (2) ⟹ P (3)

$P(1)\,\&P(2)\implies P(3)$ etcétera. con el segundo? ¿Cómo sería solo saber

P (1)

$P(1)$ , o cualquier cadena finita de

P (k)

$P(k)$ ¿ayuda?

brad g

Cuando lo pones de esa manera, suena bastante tonto, pero he visto algún tipo de prueba de tipo "inducción hacia atrás". ¿Hay alguna manera de adaptar mi sugerencia hacia uno de esos?

lulú

Bueno, la inducción hacia atrás es ciertamente una cosa. Pero en esos casos no asumes

P (1)

$P(1)$ . Más bien, asumes

P (k)

$P(k)$ para

k \geq N

$k≥N$ y deducirlo por

P (n - 1)

$P(n-1)$ . Esto surge mucho en probabilidad y en soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales con valores límite.

Alan

También aparece para todos los números si tiene una secuencia abierta para la que funciona, le di un ejemplo a continuación.

rober arthan

Puede que te estés confundiendo con el método de descenso infinito de Fermat .

greg martin

Tenga en cuenta que si

P (n)

$P(n)$ es la declaración "

n

$n$ es igual

1

$1$ ", entonces

P (1)

$P(1)$ es verdad y tambien

P (n + 1) ⟹ P (n)

$P(n+1)\implies P(n)$ es cierto para todos

n \geq 1

$n\ge1$ .

Respuestas (4)

¿Inducción inversa?

¿Cómo funcionaría eso? Nota con el primer caso (estándar), $P(1) \,\&\,P(1)\implies P(2)$ y luego $P(1)\,\&P(2)\implies P(3)$ etcétera. con el segundo? ¿Cómo sería solo saber $P(1)$ , o cualquier cadena finita de $P(k)$ ¿ayuda?
Cuando lo pones de esa manera, suena bastante tonto, pero he visto algún tipo de prueba de tipo "inducción hacia atrás". ¿Hay alguna manera de adaptar mi sugerencia hacia uno de esos?
Bueno, la inducción hacia atrás es ciertamente una cosa. Pero en esos casos no asumes $P(1)$ . Más bien, asumes $P(k)$ para $k≥N$ y deducirlo por $P(n-1)$ . Esto surge mucho en probabilidad y en soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales con valores límite.
También aparece para todos los números si tiene una secuencia abierta para la que funciona, le di un ejemplo a continuación.
Puede que te estés confundiendo con el método de descenso infinito de Fermat .
Tenga en cuenta que si $P(n)$ es la declaración " $n$ es igual $1$ ", entonces $P(1)$ es verdad y tambien $P(n+1)\implies P(n)$ es cierto para todos $n\ge1$ .

Alan · Answer 1

No existe una inducción inversa pura, pero hay una forma de inducción "hacia adelante-hacia atrás" en la que prueba que funciona para alguna secuencia que va al infinito, luego prueba que si funciona para $n$ funciona para $n-1$ .

El primer lugar donde la gente tiende a ver esto es demostrando la desigualdad media aritmética/geométrica generalizada:

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{norte}}{norte} \geq (X_{1} X_{2} X_{3} \dots X_{norte})^{\frac{1}{norte}}

$\frac {x_1 +x_2 + \dots +x_n}n\geq (x_1x_2x_3 \dots x_n)^{\frac 1 n}$

Primero prueba que funciona para potencias arbitrarias de 2, es decir, para $n=2^k$ . Entonces prueba que si sirve para cualquier $n$ , funciona para $n-1$ . Esto te da todos los números naturales porque puedes llegar a cualquier número natural alcanzando primero una potencia de dos por encima de él y luego retrocediendo.

Esto se generaliza para decir que la inducción hacia adelante/hacia atrás funciona si puede mostrar alguna secuencia $a_n$ dónde $a_n\to \infty$ $p(a_n)$ aguanta y eso si $n\geq (\text{starting number }+1)$ y $p(n)$ aguanta entonces $p(n-1)$ sostiene, entonces $p$ se mantiene para todos los números desde su inicio hacia arriba.

¡Sí, esa es una prueba que he visto hace algún tiempo! (+1)
@usuario Tuve que usar la misma técnica en Análisis funcional, el único otro lugar donde la he visto usar, pero estoy seguro de que hay más
Por supuesto, pero el espíritu de la pregunta en mi opinión era diferente, es decir, mostrar que P(n) es cierto para n arbitrariamente grande y proceder hacia atrás para demostrar que se cumple para cualquier $m\le n$ . La pregunta es sobre la validez de este método para mostrar que P(n) se cumple para todo n. En cualquier caso, todos los ejemplos dados son interesantes y útiles.
@user Ehh, la forma formal de decir "Es cierto para n arbitrariamente grande" es exactamente para mostrar que funciona para una secuencia de números que llega al infinito, en mi opinión.
Sí, por supuesto, de hecho, parece no tener sentido como inducción, en el sentido de que la pregunta se refiere a eso. Adiós

Reveillark · Answer 2

Prueba $P(1)$ y $\forall n[P(n+1)\to P(n)]$ no comprará nada; de hecho, las cosas se rompen en el primer paso: ya que no sabes si $P(n)$ sostiene, no se puede inferir $P(n-1)$ .

Puedes hacer inducción inversa cuando las cosas están limitadas arriba. Di que quieres mostrar eso $P(n)$ se mantiene para cada $n\in \{1,\dots,N\}$ , dónde $N$ está arreglado. Entonces, si puedes probar $P(N)$ y $P(n)\to P(n-1)$ para cada $n\in \{2,\dots,N\}$ , puedes inferir $\forall n\in \{1,\dots,N\} P(n)$ .

Tenga en cuenta que esto es solo una inducción normal con un bigote falso: deje $Q(n)$ ser la afirmación $P(N-n)$ . Entonces, la "inducción inversa" es solo una inducción regular con $Q$ .

usuario · Answer 3

La inducción inversa no tiene sentido o es inútil para " probar el enunciado para todos". $n$ ". El objetivo de la inducción es "conquistar" paso a paso todos los valores numerables para $\mathbb{N}$ , de tal manera de demostrar que $P(n)$ vale para todos $n\ge n_0$ . El caso base es el primer paso y, para proceder, debemos avanzar, no retroceder.

Entonces, ¿no hay ningún tipo de "inducción hacia atrás" que funcione?
@BradG. Podría tener algún significado si se usa para mostrar una declaración que es verdadera para cualquier $n\le n_0$ .

GEdgar · Answer 4

En cierto sentido esto es cierto. si tenemos $P(1)$ y también $\forall n [P(n+1) \Rightarrow P(n)]$ , entonces podemos concluir que $P(k)$ vale para todos los enteros $\le 1$ . es decir, por $k = 1,0,-1,-2,-3,\dots$ .

Ejemplo. Dejar $P(n)$ ser: " $n-2 < 0$ ". Sabemos $1-2 < 0$ y de $n+1 < 0$ podemos deducir $n = (n+1)-1 < 0-1 = -1 < 0$ entonces $n < 0$ . La conclusión sería $k-2 < 0$ para todos los enteros $k \le 1$ .

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