¿Existe una diferencia clave entre el principio de inducción transfinita y el principio de inducción transfinita para ordinales?

En una pregunta reciente, se me pidió que probara el principio de inducción transfinita para ordinales, pero probé por error el principio de inducción transfinita, ya que solo tengo una comprensión vaga de ellos, solo me preguntaba si existe una diferencia clave entre los dos. o sería aceptable una prueba de esto último para obtener todas las marcas. Gracias por cualquier ayuda.

Principio de inducción transfinita: ∀ X < z ( ∀ y < X [ Φ ( y ) → Φ ( X ) ] → ∀ X < z Φ ( X ) )

Principio de inducción transitoria para ordinales; C ≠ ϕ , α , β ∈ C ∀ α ∃ β [ α ≤ β ]

Inducción transfinita: Inducción para todo conjunto bien ordenado. es decir, cardenales... ¿Eso es lo que yo diría?
La premisa de su pregunta es que los nombres son confusos, por lo que no debe esperar que un lector sepa exactamente lo que quiere decir con "el principio de inducción transfinita". Díganos la declaración real que probó en lugar de solo el nombre que usa para esa declaración. Si es posible, haga lo mismo con la afirmación que ahora cree que debería haber demostrado.
@menag "cada conjunto bien ordenado, es decir, cardenales" - um, no: ordinales.
@BrianO ¿Qué? No lo comprendo.
Lo he editado para incluir ambas definiciones, espero que ayude
@menag Eso es porque no entiendes los ordinales y los cardinales.
¿Piensa la gente que son más o menos equivalentes y que una demostración de la primera sería suficiente?
Ninguna de las cosas que has escrito parece tener mucho sentido por sí sola. La segunda no parece tener ningún sentido. Realmente deberías escribirlo explícitamente, sin usar demasiada notación formal, en cualquier caso, pero especialmente si no puedes usarlo muy bien.
Realmente no veo qué tiene de malo el primero, ¿no? Φ ( . ) notación estándar para una propiedad bien definida y para la segunda tal vez debería haber especificado que α , β eran ordinales pero aparte de eso es bastante simple de entender.
@Stefan Perko Nunca dijo nada diferente.
@BrianO ¿Cómo sabes exactamente que no los entiendo? Los cardenales, al ser parte de los ordinales, también están bien ordenados. Ahora, mi conjetura era que la inducción transfinita podría ser el principio para los órdenes generales de pozos, mientras que la inducción transfinita para los ordinales significa el caso especial de los ordinales.
Ok, gracias, eso era lo que buscaba, pero ¿crees que se me dará crédito si probé el caso general?
@Menag: No entiendo nada de lo que escribieron. En particular, parece que el punto de todo esto es el "caso límite" en en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_induction , probablemente el único punto que merece ser discutido (y probablemente justificando la distinción ordinales/cardinales)

Respuestas (1)

@ user200632 Su principio de inducción transfinita está mal expresado. Deberia ser:

∀ X ∈ d o metro ( Φ ) ) ( [ ( ∀ y < X ) Φ ( y ) → Φ ( X ) ] ) → ( ∀ X ∈ d o metro ( Φ ) ) Φ ( X )
para bien ordenado Φ (de hecho, por razones bien fundadas Φ ).

Su TI para ordinales está en mal estado: primero tiene α , β ∈ C , luego cuantificas sobre ellos. Quieres decir ( ∀ α ∈ C ) ( ∃ β ∈ C ) α ≤ β ? Eso es trivialmente cierto (toma β = α ) incluso para C = ∅ , y no debería obtener ningún punto por probarlo :) Debería ser:

( ∅ ≠ C ⊆ O r d ) ( ∃ α ∈ C ) ( ∀ β ∈ C ) α ≤ β

¿Existe una diferencia clave entre el principio de inducción transfinita y el principio de inducción transfinita para ordinales?
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