¿Se necesita inducción si un proceso termina después de <∞<∞\lt \infty pasos?

Sí, aquí se necesita inducción.

Puede salirse con la suya sin inducción si se le da un número fijo de pasos en el enunciado que está tratando de probar. Por ejemplo, si$U$y$T$son operadores en un$10$-espacio dimensional, podrías escribir una prueba en$10$pasos: uno que encuentra$\alpha_1$, uno que encuentra$\alpha_2$, uno que encuentra$\alpha_3$, y así sucesivamente a través$\alpha_{10}$.

Del mismo modo, si el espacio fuera$100$-dimensional, podrías escribir una prueba muy larga con$100$pasos muy similares, y no necesitarías usar inducción.

Una prueba por inducción es simplemente la idea de que si todos estos pasos son realmente idénticos, excepto que el índice aumenta cada vez, entonces es suficiente para explicar cuál es el$i^{\text{th}}$paso, y luego ha explicado todo lo que se necesita para escribir una prueba para cualquier número de dimensiones. Esto es siempre lo que es una demostración por inducción.

Puedes escribir esto de diferentes maneras:

• Tal vez escriba "Supongamos que hemos construido$W_1, W_2, \dots, W_i$invariante bajo$U$y$T$. Entonces para construir$W_{i+1}$, hacemos tal y tal. Por inducción, podemos continuar hasta llegar a$W_n$, dónde$n$es la dimensión de nuestro espacio".
• Tal vez escriba "Continúe con este proceso. Ya que termina después de un número finito de pasos, hemos terminado".

¡Estos no son diferentes en las matemáticas subyacentes que están sucediendo! La diferencia es que el primero explica muy detenidamente cómo funciona la inducción; el segundo deja algo de eso para que el lector infiera. Pero eso es solo una cuestión de estilo de prueba y de conocer a su audiencia para que sepa cuántos detalles puede omitir de manera segura.