Dinámica de masa variable: Partícula y Cuerpo Rígido

La segunda ley de Newton supuso originalmente que la masa era una constante de la naturaleza, al menos si la escribes como F=dp/dt. Solo funcionará con una masa cambiante si esa masa sale del cuerpo a la misma velocidad que el objeto original. Para entender por qué, solo piense que tiene un objeto compuesto que se mueve a una velocidad constante. Si ahora solo observa la mitad del objeto, la masa se reducirá a la mitad, pero la velocidad se mantendrá constante (suponemos que no hay fuerzas internas, por lo que ambas mitades se siguen moviendo a la misma velocidad. Ahora, si ambas mitades interactúan, entonces que el que está en el "frente" separó al que está en la parte posterior ("un fluido digital de un paso"), tendrá una interacción entre las dos mitades, y la forma correcta de describirlo es usar las velocidades iniciales y el interacción O usando que el momento total es una constante, pero siempre considerando constante la masa de cada subparte. Si solo usa la segunda ley con la derivada de la masa, obtendrá un resultado diferente (e incorrecto). Su última ecuación para cuerpos rígidos es incorrecta (en el sentido de no física). La correcta es:

$\frac{\text{d}\mathbf{Q}}{\text{d}t} = m\mathbf{\dot{v}} =\sum_i \mathbf{F_i^\text{ext}}$

Porque en la mecánica newtoniana la masa es una constante para un cuerpo rígido. No tengo referencias más allá de mi profesor diciéndome eso y resolviendo problemas (como el cohete) de ambas formas y obteniendo resultados diferentes, siendo el resultado usando masa no variable el correcto. Solo piense que en la naturaleza no existe un mecanismo clásico que permita que un cuerpo rígido pierda o cambie de masa (a menos que sea compuesto y pierda algunas partes). Ahora, el cambio de masa debido a la teoría de la relatividad es correcto, pero las leyes de Newton ya no se aplican en ese caso. Solo una nota divertida: ¡tanto el padre de Plastino como Muzzio fueron profesores míos!

Abordemos primero el problema lineal.

Ambos enfoques que ha escrito aquí son correctos: son esencialmente el mismo enfoque para situaciones ligeramente diferentes. La primera es la más clara porque está pensando en términos de conservación de la cantidad de movimiento de todo el sistema, que es sin duda la forma más clara de pensar en este tipo de problemas.

En el primer caso, simplemente está lanzando una corriente de masa desde el extremo posterior de un cohete y derivando la ecuación de Tsiolkovsky al pensar en el cohete en el momento$t$, comparándolo con lo que se ha convertido en el momento$t+\mathrm{d}t$, a saber, el cohete disminuido más la masa expulsada por separado e igualando el impulso de los dos. En particular, en el primer enfoque, se supone que la masa expulsada no tiene interacción con las masas que han sido expulsadas en momentos anteriores.$t$.

El segundo caso es ligeramente diferente. Aquí el sistema de cohetes (cohete y la masa que lanza en el tiempo$\mathrm{d}t$) se considera junto con un fluido en el que está sumergido el cohete: al menos parcialmente (en el espacio profundo solo hay fluido detrás del cohete, es decir, los gases de escape que antes eran expulsados). Vea abajo:

Los gases de escape expulsados ​​antes de tiempo$t$todavía están interactuando con el cohete + sistema de masa a punto de ser expulsado : este último ejerce presión$p_e$en el sistema Entonces obtenemos el diagrama de cuerpo libre que se muestra. Hay una fuerza neta$(p_e-p_0)\,A$en el sistema, actuando a la derecha de mi dibujo . Así que ahora tomamos exactamente el mismo enfoque que en el primer problema, pero notamos que ahora el impulso del cohete$m$+ a punto de ser expulsado$\mathrm{d}m$no se conserva: debe cambiar por$(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$. Por lo tanto, como antes, pero ahora con el impulso neto actuando:

lo que da como resultado tu segunda ecuación$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A$.

Si trae arrastre y gravedad a la imagen, también agrega el impulso de estos. Así que terminarías con$m\,\dot{v} = \dot{m}\,v + (p_e-p_0)\,A - \frac{1}{2}\,\rho_a\,C_D\,v^2 - m\,g$en ese caso para un cohete volando directamente hacia arriba.

Espero que pueda ver que su primer enfoque se aplica a algo como un chorro de arena arrojado por la parte posterior de algo; el segundo se aplica a una lata perforada que vuela por los aires.

Creo, de memoria, que el$(p_e-p_0)\,A$término tiende a ser bastante pequeño en comparación con el$\dot{m}\,v$término, pero con suerte un experto en cohetes puede aclarar este punto (y hay uno escribiendo una de sus respuestas).

Así que ahora, deberías tener la confianza para estudiar problemas de cuerpos rígidos. Si, por ejemplo, tiene uno de esos pequeños propulsores que parecen cruces de Malta en la proa de su nave espacial, dibujará un diagrama de cuerpo libre como el que se muestra a continuación.

y escriba dos ecuaciones análogas a las anteriores para expresar el cambio en el momento lineal y angular durante el tiempo$\mathrm{d}t$del sistema que comprende:

1. El cohete con masa$m-\mathrm{d}m$y momento de inercia$I-L^2\,\mathrm{d}m$sobre el centro de masa y
2. La masa expulsada$\mathrm{d}m$con impulso$\mathrm{d}m\,u_e$hacia arriba y momento angular$L\,\mathrm{d}m\,u_e$en sentido contrario a las agujas del reloj sobre el centro de masa.

observando que ahora hay un cambio neto en el impulso$(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$hacia abajo y el cambio neto en el momento angular de$L\,(p_e-p_0)\,A\,\mathrm{d}t$en el sentido de las agujas del reloj sobre el centro de masa del cohete.

Descargo de responsabilidad: lo siguiente se aplica a su servidor, el escritor de esta respuesta. Mientras que una de sus otras respuestas a esta pregunta está escrita por un verdadero científico espacial.