Comprender el problema del cohete de manera intuitiva [cerrado]

Con este tipo de problema, a menudo vale la pena dibujar un gráfico de velocidad contra tiempo.

Las limitaciones son que el cohete tiene que viajar$20$m, acelerará en$1$EM$^{-2}$y con el propulsor en el cohete descenderá a velocidad constante.
Entonces, el truco es hacer que el cohete caiga lo más lejos posible cuando su propulsor está encendido, como se muestra en el diagrama a continuación.

Entonces la ecuación a resolver es$\frac 1 2 t^2 +2t =20 \Rightarrow t \approx 4.63$s

Si coloca ese rectángulo de velocidad constante en cualquier otro lugar, la distancia recorrida a velocidad constante será menor y, por lo tanto, la distancia recorrida acelerando será mayor.
Por lo tanto, se dedicará más tiempo a acelerar y, por lo tanto, la velocidad de aterrizaje será mayor.

Es posible usar la ley de conservación de la energía para entender lo que está pasando aquí. Pero argumentos simples como "la energía química se opone a la gravedad" no ayudarían.

Entonces, el combustible se quemó, su energía química se libera. La cantidad de energía liberada es la misma sin importar si el combustible se quemó al principio o al final del vuelo. ¿Adónde se fue esta energía?

1. el gas lanzado por el cohete se calienta:$E_1$

2. la energía cinética del gas ha cambiado:$E_2$

3. la energía cinética del cohete ha cambiado:$E_3$

queremos hacer$E_3$lo más pequeño posible (sería bueno hacerlo negativo: eso significaría que la energía cinética del cohete ha disminuido).

$E_1$no depende de cuándo se quemó el combustible.

Así que la única manera de disminuir$E_3$es aumentar$E_2$cuanto más se pueda. Eso es aumentar la energía cinética del gas saliente tanto como sea posible. ¿La energía cinética del gas depende de algo? Lo hace.

Los motores de los cohetes lanzan gas con cierta velocidad.$V$. Si la velocidad del cohete es$v$que el cambio de energía cinética de los gases sería:

¿Ver? Cuanto mayor sea la velocidad$v$del cohete, más energía cinética gana el gas cuando los motores del cohete lo lanzan hacia adelante con velocidad adicional$V$!

Entonces, si el cohete quema el combustible al final del vuelo cuando su velocidad es máxima, la energía cinética del gas se maximiza. Y la energía cinética del cohete se minimiza.

Por lo que veo esto, los propulsores proporcionan un empuje igual al peso del cohete, por lo que dispararlos solo puede hacer que la fuerza neta sobre el cohete sea cero para$2$segundos, lo que significa que el cohete no acelerará durante$2$segundos. Por lo tanto, los propulsores deben dispararse a$2$segundos para aterrizar.

Según mis cálculos la altura debería ser$9.26\,\rm m$(corrígeme si estoy equivocado). También tenga en cuenta que la velocidad en este punto será$4.63\,\rm m/s$. La velocidad de impacto no puede ser cero en ningún caso. La velocidad de impacto podría ser cero si el empuje proporcionado fuera mayor que el peso del cohete.

Además, en un escenario realista, la velocidad de impacto podría ser cero ya que el peso del cohete se reduciría con el uso del combustible.

Para minimizar la velocidad del impacto, hay dos formas de pensar en esto:

1. Desea maximizar el trabajo realizado en el cohete:

   $$\mathrm{Work = Force \times Distance}$$

2. Necesitas minimizar el tiempo de caída.

Tienes razón en que la energía total siempre se conservará. Pero en este tipo de problema, no se le da una cantidad fija de energía para usar, sino que se le da una cantidad fija de impulso (fuerza multiplicada por tiempo). En efecto, la eficiencia (cuánto cambio en energía produce) del cohete está cambiando, dependiendo de cuándo se use. Si el cohete se usa cuando el barco viaja rápidamente ($v$es grande), entonces funciona de manera más eficiente para reducir la velocidad del barco.

Suponiendo que el objetivo es minimizar la velocidad del impacto, debe cronometrar la quema para que termine cuando aterrice.

¿Por qué? porque todo el tiempo que estás en vuelo estás ganando velocidad debido a la gravedad. Quemar antes hace que tu vuelo sea más largo y, por lo tanto, aumenta tu velocidad de impacto.