Derivando la ecuación del cohete

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Derivando la ecuación del cohete

james molinero

Recientemente decidí retomar esas partes de la mecánica clásica que siempre me dieron problemas. Una de esas partes era la ecuación del cohete , así que pensé que intentaría derivar las ecuaciones apropiadas desde cero. Evidentemente, me encontré con problemas en alguna parte, así que espero que alguien pueda señalar mis errores y guiarme en la dirección correcta. De todos modos aquí va...

Supongamos que un cohete expulsa gases de escape detrás de él con velocidad constante (en relación con el cohete) $\mathbf{u}$ . Fije un marco de referencia inercial y considere el cohete + sistema de escape. Si $m_R$ denota la masa instantánea del cohete, entonces el impulso del cohete se puede escribir como $m_R\mathbf{v}$ , dónde $\mathbf{v}$ es la velocidad instantánea del cohete. La cantidad de movimiento del escape debe estar dada por la integral:

\int (v + tu) \frac{d {metro}_{mi}}{d t} d t

$\int (\mathbf{v}+\mathbf{u})\frac{\mathrm{d}m_E}{\mathrm{d}t} \; \mathrm{d}t$

dónde $m_E$ denota la masa instantánea del escape. Combinando estas expresiones para la cantidad de movimiento, llegamos a la cantidad de movimiento total del sistema:

pag = {metro}_{R} v + \int (v + tu) \frac{d {metro}_{mi}}{d t} d t

$\mathbf{p} = m_R\mathbf{v} + \int (\mathbf{v}+\mathbf{u})\frac{\mathrm{d}m_E}{\mathrm{d}t} \; \mathrm{d}t$

Ahora, de acuerdo con la segunda ley del movimiento, la fuerza que actúa sobre el cohete + sistema de escape se obtiene de $\mathbf{p}$ tomando derivadas temporales. En otras palabras:

F = \dot{pag} = \frac{d {metro}_{R}}{d t} v + {metro}_{R} \frac{d v}{d t} + (v + tu) \frac{d {metro}_{mi}}{d t} = {metro}_{R} \frac{d v}{d t} - \frac{d {metro}_{R}}{d t} tu

$\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}} = \frac{\mathrm{d}m_R}{\mathrm{d}t}\mathbf{v}+m_R\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+(\mathbf{v}+\mathbf{u})\frac{\mathrm{d}m_E}{\mathrm{d}t} = m_R\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}m_R}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}$

Esta expresión coincide superficialmente con las de mis libros de mecánica de la universidad, pero hay una gran diferencia. En esta expresión $\mathbf{F}$ es la fuerza total que actúa sobre el cohete + sistema de escape, mientras que en mis textos esto $\mathbf{F}$ es solo la fuerza que actúa solo sobre el cohete.

Entonces, en base a esto, he cometido un error fundamental en alguna parte de mi argumento. Como pregunté antes, si alguien pudiera ayudarme a identificar este error y corregirlo, estaría muy agradecido.

usuario12262

" la fuerza que actúa sobre el cohete solo " - expresaría como

F_{R} := m_{R} d / d t (v) = F_{R}^{e x t e r n a l} + u d / d t (m_{R})

$\mathbf{ F }_R := m_R \, \mathrm{d/d}t( \mathbf{ v } ) = \mathbf{ F }_R^{external} + \mathbf{ u } \, \mathrm{d/d}t( m_R )$ ; mientras que " la fuerza total que actúa sobre el cohete + sistema de escape " - expresaría como

F^{e x t e r n a l}

$\mathbf{ F }^{external}$ , donde quizás se suele suponer que es irrelevante qué fuerzas actúan sobre la materia de escape una vez que ha sido expulsada, por lo que quizás

F^{e x t e r n a l} := F_{R}^{e x t e r n a l}

$\mathbf{ F }^{external} := \mathbf{ F }_R^{external}$ . Concluyo que sus textos están mal redactados...

Lourenço Entrudo

¿Por qué la cantidad de movimiento del escape está dada por esa integral en lugar de simplemente

m_{E} (v + u)

$m_E (v+u)$ , dónde

m_{E}

$m_E$ es la masa de gas ya expulsada en el momento

t

$t$ ?

Respuestas (1)

Derivando la ecuación del cohete

" la fuerza que actúa sobre el cohete solo " - expresaría como $\mathbf{ F }_R := m_R \, \mathrm{d/d}t( \mathbf{ v } ) = \mathbf{ F }_R^{external} + \mathbf{ u } \, \mathrm{d/d}t( m_R )$ ; mientras que " la fuerza total que actúa sobre el cohete + sistema de escape " - expresaría como $\mathbf{ F }^{external}$ , donde quizás se suele suponer que es irrelevante qué fuerzas actúan sobre la materia de escape una vez que ha sido expulsada, por lo que quizás $\mathbf{ F }^{external} := \mathbf{ F }_R^{external}$ . Concluyo que sus textos están mal redactados...
¿Por qué la cantidad de movimiento del escape está dada por esa integral en lugar de simplemente $m_E (v+u)$ , dónde $m_E$ es la masa de gas ya expulsada en el momento $t$ ?

alfredo centauro · Answer 1

No veo ningún error de tu parte. La fuerza sobre el cohete debe ser igual a la tasa de cambio en el tiempo del impulso del cohete solo para que los textos sean engañosos o simplemente erróneos.

No existe una fuerza externa que actúe sobre el cohete/ sistema propulsor , por lo que el centro de masa del cohete/sistema propulsor, como un todo, no cambia.

De este modo:

$m_R \cdot d\mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot dm_R$

o

$dv = -u \dfrac{dm_R}{m_R}$

lo que lleva a

$\Delta v = u [\ln(m_{R,i}) - \ln(m_{R,f})] = u \ln\dfrac{m_{R,i}}{m_{R,f}}$

Bien, esto conduce a la ecuación correcta para la velocidad en ausencia de fuerzas externas. Pero cuando pruebo mi enfoque en, digamos, la presencia de un campo gravitacional, obtengo resultados incorrectos. Por ejemplo, si quiero encontrar la velocidad en este caso, obtengo $(m_R+m_E)g = m_R\dot{v}-u\dot{m}_R$ y puedo resolver para $v$ de aquí. Sin embargo, Kleppner y Kolenkow dicen que debería haber $m_Rg = m_R\dot{v} - u\dot{m}_R$ y que debo resolver $v$ desde allí. De ahí mi confusión.
Ah, creo que identifiqué la fuente de mi error. En el caso de que no haya fuerzas externas actuando sobre el sistema, la derivación se realiza correctamente. Pero cuando considero las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, la expresión que tengo para la cantidad de movimiento del escape es incorrecta. Se necesita un término adicional para corregir cualquier momento que se gane o pierda debido a la fuerza externa que actúa sobre el escape. ¿Tengo este derecho?
Sí, una fuerza externa en un sistema cambiará su impulso de acuerdo con la fórmula que indicó en su pregunta. Sin embargo, la propulsión debida a los gases de escape expulsados aplicará una fuerza interna en el sistema cohete/propulsor, por lo que no cambiará la cantidad de movimiento del sistema.

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