El lanzamiento vertical de un cohete

Question

El lanzamiento vertical de un cohete

Chern Simons

Del Q7 en la página 22 de "Upgrade Your Physics" de BPhO/Machacek

Un cohete de masa inicial $M_0$ se lanza verticalmente en un campo de fuerza gravitacional uniforme $g$ .

(a) Calcule la velocidad final del cohete cuya masa de lanzamiento es propulsor en un 90 %, con una velocidad de escape constante $u$ . Suponga que el propulsor se consume uniformemente durante un minuto.

Intento :

Dejar $\alpha$ denote el consumo de combustible en $\mathrm{kg\ s^{-1}}$

Entonces el empuje constante proporcionado por el escape viene dado por:

\begin{matrix} (1) & T = α tu \end{matrix}

$T=\alpha u \tag{1}$

la aceleracion $a(t)$ del cohete en algún momento $t$ después del lanzamiento:

\begin{matrix} (2) & T - METRO (t) gramo = METRO (t) a (t) \end{matrix}

$T-M(t)g=M(t)a(t) \tag{2}$

dónde

\begin{matrix} (3) & METRO (t) = {METRO}_{0} - α t \end{matrix}

$M(t)=M_0-\alpha t \tag{3}$ es la masa del cohete en el momento

t

$t$ .

Usando $v=\int a(t)\,\mathrm dt$ , Obtuve

\begin{matrix} (4) & v (t) = \int_{0}^{t} (\frac{α tu}{{METRO}_{0} - α t} - gramo) d t = tu en (\frac{{METRO}_{0}}{{METRO}_{0} - α t}) - gramo t \end{matrix}

$v(t)=\int\limits_0^t\left(\frac{\alpha u}{M_0-\alpha t}-g\right)\,\mathrm dt=u\ln\left(\frac{M_0}{M_0-\alpha t}\right)-gt \tag{4}$ desde

v_{0} = 0

$v_0=0$ .

Poder $\alpha$ y $t$ de alguna manera ser eliminado o necesito más información para responder a la pregunta? ¿Algún error conceptual en mi trabajo?

Más adelante, la pregunta también pregunta por la velocidad en el corte del motor principal y la mayor altura alcanzada (que creo que se puede obtener integrando la ec. $(4)$ pero la noción de tiempo es nuevamente necesaria aquí?).

Chern Simons

Publicado de forma cruzada: math.stackexchange.com/q/3518408

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El lanzamiento vertical de un cohete

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usuario249968 · Answer 1

Como usted dice :

METRO (t) = {METRO}_{o} - α t

$M(t) = M_o - \alpha t$

Pero debes saber que a veces $\tau$ después de iniciar el objeto ahora tiene $0.1M_o$ masa (ya que consumió todo su combustible).

Por lo tanto

\begin{matrix} (1) & 0.1 {METRO}_{o} = {METRO}_{o} - α τ \end{matrix}

$0.1M_o = M_o - \alpha \tau \tag 1$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow τ = \frac{0.9 {METRO}_{o}}{α} \end{matrix}

$\Rightarrow \tau = \frac {0.9M_o}{\alpha} \tag 2$

Después de sustituir $(1)$ y $(2)$ en su ecuación obtenemos:

v (τ) = tu en (10) - gramo \frac{0.9 {METRO}_{o}}{α}

$v(\tau) = u\ln \left(10 \right)-g\frac {0.9M_o}{\alpha}$

ahora si sabes $\alpha$ entonces puedes encontrar $v(\tau)$ .

Qué pasa $\alpha$ ? hay manera de eliminar $\alpha$ ? (Al igual que en el caso horizontal, se cancela, pero no estoy seguro de si es aplicable a un lanzamiento vertical).
En el lanzamiento vertical, no se cancela, ya que se necesita para luchar contra la gravedad. Cada segundo que el motor arde, parte de su empuje es cancelado por la gravedad. Cuanto mayor sea el empuje, menor será la fracción. Siempre que ignore la resistencia del aire y las cargas estructurales, las quemas más cortas con mayor empuje son mejores. Puede reorganizar la ecuación para que sea V(tau) = deltaV - pérdidas por gravedad

Agnius Vasiliauskas · Answer 2

Basado en una muy buena respuesta de @Johan Liebert, puede extrapolar varias cosas. Primero, el límite superior de la velocidad del cohete es cuando $\alpha \to \infty$ , esto da :

v_{metro a X} = tu en (10)

$v_{max} = u\,\ln(10)$ , porque el segundo término tiende a cero entonces.

Segundo: puede calcular el consumo crítico de combustible, resolviendo para $\alpha$ en :

tu en (10) - gramo \frac{0.9 {METRO}_{o}}{α} = 0

$u\,\ln(10) - g \frac{0.9 M_o}{\alpha} = 0$ esto da :

α_{crítico} = gramo \frac{0.9 {METRO}_{o}}{tu en (10)}

$\alpha_{\text{critical}} = g\frac{0.9\,M_o}{u \ln(10)}$ Si

α < α_{critical}

$\alpha < \alpha_{\text{critical}}$ , entonces el cohete finalmente comenzará a retroceder a la Tierra, es decir, la fuerza de la gravedad ganará al final.

El lanzamiento vertical de un cohete

Chern Simons

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usuario249968

Chern Simons

AI0867

Agnius Vasiliauskas

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