Cohete con fuerza de arrastre, Pregunta de examen

Esta pregunta apareció en mi examen de práctica.

Una nave espacial de masa$M_0$(barco+combustible) viaja horizontalmente en la atmósfera terrestre, lo que ejerce una fuerza de arrastre$F=-bv$. La nave está equipada con un retro-cohete apuntando en la dirección de avance (en la parte delantera de la nave, el propósito es reducir la velocidad de la nave). El retrocohete quema combustible a una velocidad constante.$-\frac {\delta m}{\delta t}=k$, el escape sale de la tobera a una velocidad u con respecto a la velocidad del cohete. La nave espacial entra en la atmósfera a una velocidad$V_0$. Resuelve la velocidad con respecto al tiempo.

La respuesta correcta es:

$$v=(\frac{ku}{b}+V_0)(\frac{m_0-kt}{m_0})^{(\frac{b}{k})}-\frac{ku}{b}$$

Mi intento:

$$P_{final} = m_{final}*v_{final}$$ $$P_{final}=m_{rocket}*v_{rocket}-m_{fuel}*v_{fuel}-\int_t drag$$ Para ser honesto, no estoy muy seguro de qué hacer con Drag Force. pero sé que $F=\frac {\delta p}{\delta t}$así que para que todos los términos cobren impulso. Decidí tomar la integral.

$$m_{rocket}= m_0-m_{fuel}=m_0-\frac {\delta m}{\delta t}=m_0+kt$$ $$v_{rocket}= V_0 -\delta v$$ Debe haber alguna disminución en la velocidad aquí (?) $$m_{fuel}= \frac {\delta m}{\delta t}*t= -kt$$ $$v_{fuel} = V_0-\delta v+u$$ $$m_{final} = m_0+kt$$ Poniendolo todo junto: $$(m_0+kt)*V_{final}=(m_0+kt)(V_0-\delta v)-(kt)(V_0-\delta v+u)-\int_t bv$$ Y ya estoy bastante perdido. No sé cómo lidiar con la fuerza de arrastre, y tampoco sé cómo calcular $\delta v$. Mi respuesta no se parece en nada a la solución dada.

El trabajo para la solución o cualquier sugerencia sería muy apreciada.