¿Podemos tener funciones de onda discontinuas en el pozo Infinite Square?

En el$L^2$cálculo que es relevante para las funciones de onda del espacio de Hilbert, no es realmente cierto que la "derivada de una función discontinua no existe".

Por ejemplo, si una función de onda$\psi(x)$obedece

Una razón por la que las funciones discontinuas con un paso no aparecen en los problemas físicos del mundo real es que el valor esperado de la energía cinética es infinito. Es realmente porque el valor esperado de la energía cinética es proporcional a la integral de$\psi'(x)$y la integral de$\delta(x)^2$diverge porque$\delta(x)^2$es "mucho más infinito" en cero que$\delta(x)$sí mismo.

Siempre que sepamos que la energía cinética es menor que un cierto límite finito, también sabemos que la función de onda no tendrá este tipo de discontinuidad. Pero eso no significa que nunca debamos calcular con tales funciones de onda discontinuas, e incluso funciones de onda iguales a distribuciones como funciones delta y sus derivadas. De hecho, los físicos trabajan con ellas todo el tiempo porque tales funciones de onda son matemáticamente muy naturales, aunque ninguna de ellas puede parecer realmente un vector de estado "estrictamente realista" que satisfaga todos los criterios de normalización y energía finita. Las funciones de onda realistas, como los paquetes de ondas, a menudo se pueden expresar como una integral de tales funciones de onda no uniformes. La integración los "difumina" y elimina las características singulares.

I) Bueno, en general existe una noción de soluciones débiles , es decir, uno puede, por ejemplo, reescribir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de forma diferencial

en una ecuación integral

donde la función de onda$\psi(x)$ya no tiene que ser dos veces diferenciable para que la ecuación (2) tenga sentido (a diferencia de la ecuación (1)).

(OP está haciendo una pregunta más general que involucra la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, vea la sección V, pero para simplificar primero consideremos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo).

A continuación supondremos siempre que la función de onda$\psi\in{\cal L}^2(\mathbb{R})$es integrable al cuadrado (=normalizable).

Tenga en cuenta, sin embargo, que si se supone que$V,\psi\in{\cal L}^2_{\rm loc}(\mathbb{R})$son ambos localmente integrables al cuadrado, entonces uno puede deducir (a través de una especie de argumento de arranque, cf. esta respuesta de Phys.SE) que una solución$\psi$es de hecho derivable con derivada continua,$\psi\in C^1(\mathbb{R})$.

II) A continuación, tenga en cuenta que el pozo de potencial cuadrado infinito

es una idealización del pozo de potencial cuadrado finito$^1$

dónde$V_0$es una constante positiva muy grande, mucho mayor que la energía de la partícula que nos gustaría estudiar.

III) Por un lado, el pozo de potencial cuadrado finito (4) sí es integrable localmente al cuadrado, por lo que las soluciones$\psi$son$C^1(\mathbb{R})$. Se puede demostrar que una solución normalizable$\psi$sólo existe para ciertos niveles de energía discretos$E_n$(que dependen del parámetro$V_0$). Uno puede además mostrar en el límite$V_0\to \infty$, que estas funciones propias de energía$\psi_n$i) siguen siendo funciones continuas, y ii) que se desvanecen fuera del pozo$|x|\geq a$.

IV) Por otro lado, el pozo de potencial cuadrado infinito (3) no es integrable localmente al cuadrado, pero se puede mostrar que la restricción de las soluciones$\psi$al pozo$|x|< a$debe ser$C^1(]-a,a[)$, es decir, que$\psi$a lo sumo podría tener una discontinuidad en las paredes de potencial$x=\pm a$. fuera del pozo$|x|>a$, la ecuación integral (2) no está bien definido debido al potencial infinito. Sobre bases físicas basadas en la experiencia del caso finito (4), ahora declaramos que las funciones propias de energía$\psi_n$deben ser i) continuos y ii) que deben desaparecer fuera del pozo$|x|\geq a$. En particular, es físicamente razonable imponer la condición de contorno de Dirichlet$\psi_n(x\!=\!\pm a)=0$en las paredes de potencial.

V) Ahora volvamos a la pregunta de OP. Sí, el espacio de Hilbert es$H=L^2([-a,a])$con base$\psi_n$dada por las funciones propias de la energía$\psi_n$de la Sección IV. Combinaciones lineales infinitas integrables cuadradas

no es necesario que sea continuo.

Ejemplo: la función de onda impar y discontinua

es normalizable$\psi\in H=L^2([-a,a])$. Se puede escribir como una serie infinita.

de funciones propias de energía, y la serie converge tanto$x$-puntualmente y en$L^2$-norma. Tan puramente desde la perspectiva del espacio de Hilbert$H=L^2([-a,a])$, la función de onda discontinua (6) está perfectamente bien.

Sin embargo, se puede demostrar que la energía cinética de la función de onda (6) es infinita y, por lo tanto, no es físicamente aceptable. Los argumentos en este sentido llevan naturalmente a observar más de cerca el operador hamiltoniano, que es un operador ilimitado , definido en un dominio pertinente, y estudiar su extensión autoadjunta. Eso lo dejamos para el lector interesado.

$^1$El potencial finito (4) es en sí mismo también una idealización, pero lo ignoraremos aquí.

En un pozo infinito 1D la energía del$n$el modo es proporcional a$n^2$. Sin embargo, si está sumando modos para formar un cuadrado, el factor para el$n$el modo es 1/$n$. Eso significa que hacer una onda cuadrada requeriría una cantidad infinita de energía, lo cual no es sorprendente ya que tendría una primera derivada infinita.