¿Qué es exactamente un estado ligado y por qué tiene energía negativa?

Si tiene una copia de Griffiths, tiene una buena discusión sobre esto en la sección de potencial de la función delta. En resumen, si la energía es menor que el potencial en$-\infty$ y $+\infty$, entonces es un estado ligado, y el espectro será discreto:

$$\Psi\left(x,t\right) = \sum_n c_n \Psi_n\left(x,t\right).$$ De lo contrario (si la energía es mayor que el potencial en $-\infty$ o $+\infty$), es un estado de dispersión, y el espectro será continuo: $$\Psi\left(x,t\right) = \int dk \ c\left(k\right) \Psi_k\left(x,t\right).$$ Para un potencial como el pozo cuadrado infinito o el oscilador armónico, el potencial va a $+\infty$a $\pm \infty$, por lo que solo hay estados vinculados.

Para una partícula libre ($V=0$), la energía nunca puede ser menor que el potencial en cualquier lugar ***, por lo que solo hay estados de dispersión.

Para el átomo de hidrógeno,$V\left(r\right) = - a / r$con$a > 0$, por lo que hay estados ligados para$E < 0$y estados de dispersión para$E>0$.

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*** @Alex hizo un par de preguntas en los comentarios sobre por qué$E>0$para una partícula libre, así que pensé en ampliar este punto.

Si reorganizas la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como

$$\psi''= \frac{2m}{\hbar^2} \left(V-E\right) \psi$$ ves eso $\psi''$y $\psi$tendría el mismo signo para todos $x$si $E < V_{min}$, y $\psi$no sería normalizable (no se puede ir a $0$a $\pm\infty$).

Pero, ¿por qué descartamos el$E<V_{min}=0$soluciones por esta razón, sin embargo, mantenga el$E>0$soluciones,$\psi = e^{ikx}$, cuando tampoco son normalizables?

La respuesta es considerar la normalización de la función de onda total en$t=0$, utilizando el hecho de que si una función de onda se normaliza en$t=0$, permanecerá normalizado todo el tiempo (consulte el argumento que comienza en la ecuación 147 aquí ):

$$\left<\Psi | \Psi\right> = \int dx \ \Psi^*\left(x,0\right) \Psi\left(x,0\right) = \int dk' \int dk \ c^*\left(k'\right) c\left(k\right) \left[\int dx \ \psi^*_{k'}\left(x\right) \psi_k\left(x\right)\right]$$

Para$E>0$,$\psi_k\left(x\right) = e^{ikx}$dónde$k^2 = 2 m E / \hbar^2$, y el$x$integral entre corchetes es$2\pi\delta\left(k-k'\right)$, asi que

$$\left<\Psi | \Psi\right> = 2\pi \int dk \ \left|c\left(k\right)\right|^2$$ que puede igualar $1$para una elección adecuada de $c\left(k\right)$.

Para$E<0$,$\psi_k\left(x\right) = e^{kx}$dónde$k^2 = - 2 m E / \hbar^2$, y el$x$integral entre corchetes diverge, entonces$\left<\Psi | \Psi\right>$no puede igualar$1$.

Significa lo mismo que significa en la mecánica clásica: si está prohibido enérgicamente separarse a una distancia arbitrariamente grande, están "atados" .

La Tierra está unida gravitacionalmente al Sol y la Luna a la Tierra. Los electrones en un átomo neutro están unidos electromagnéticamente al núcleo. Un guisante que rueda en el fondo de un cuenco está atado.

Por el contrario, las sondas Voyager están (apenas) sueltas y volarán (lentamente) hacia la galaxia.

Barry Simón escribe:

Una de las preguntas más intrigantes se refiere a la presencia de valores propios discretos de energía positiva (es decir, funciones propias integrables al cuadrado con valores propios positivos). Existe un argumento muy poco riguroso pero físicamente atractivo que nos asegura que tales "estados ligados" de energía positiva no pueden existir. Por otro lado, hay un ejemplo antiguo y explícito debido a von Neumann y Wigner que presenta un potencial bastante razonable.$V$, con$V(r) \to 0$como$r \to \infty$y que posee una función propia con$E = 1$.
El potencial

$$V(r)=\frac{-32 \sin r[g(r)^3 \cos r-3g(r)^2\sin^3r+g(r)\cos r+sin^3r]}{[1+g(r)^2]^2}$$ con$g(r)=2r-\sin2r$tiene el valor propio +1 con función propia $$u(r)=\frac{\sin r}{r(1+g(r)^2)}$$ Sobre los valores propios positivos de los operadores de Schrödinger de un cuerpo

En un artículo de 2019, Simon explica:

Considere en$R^ν$, la ecuacion$(−∆ + V )φ = λφ$con$V (x) \to 0$como$|x| \to \infty$y$λ > 0$. Ingenuamente, uno podría esperar que ninguna solución,$φ$, puede estar en$L^2(R^ν , d^νx)$. La intuición es clara: clásicamente, si la partícula está en la región$\{ x \mid |x| > R\}$, dónde$R$se recoge tan grande que$|x| \gt R \Longrightarrow V (x) \lt λ/2$y si la velocidad apunta hacia afuera, la partícula no es capturada y, por lo tanto, no se une. Debido al túnel, en la teoría cuántica, una partícula siempre llegará a esta región, por lo que no debería haber estados ligados de energía positiva. Esta intuición de valores propios incrustados es incompleta debido al hecho de que las protuberancias pueden causar reflejos incluso cuando las protuberancias son más pequeñas que la energía, por lo que una cantidad infinita de protuberancias pequeñas que no decaen demasiado rápido podrían atrapar una partícula.

Matemáticamente, los estados ligados son estados que decaen lo suficientemente rápido en el infinito, de modo que la probabilidad de encontrar la partícula que describen en regiones lejanas del espacio es insignificante.

Durante mucho tiempo se ha conjeturado, basado en la intuición física, que es el caso de los estados mecánicos cuánticos significativos, como las funciones propias del hamiltoniano (no se espera que un electrón atómico tenga una probabilidad sensible de estar a una distancia infinita de su núcleo). ).

Esto ha sido probado matemáticamente en los años ochenta, principalmente por S.Agmon. En términos generales, el resultado es el siguiente: las funciones propias del operador de Schrödinger (es decir, correspondientes al espectro discreto) se descomponen exponencialmente en el espacio. Así que si$\psi_n(x)$son tales funciones propias,$\lvert \psi_n(x)\rvert\leq A e^{-B\lvert x\rvert}$, para algunas constantes positivas$A,B$.

1. Eliminando los tecnicismos, Wikipedia define esencialmente un estado vinculado en$d$dimensiones espaciales como

   • (yo) una solución$\psi$al TISE

   tal que

   • (ii)$\psi\in{\cal L}^2(\mathbb{R}^d)$es cuadrado integrable/normalizable.

2. La condición (ii) es (bajo suposiciones relativamente moderadas)$^1$) equivalente a eso

   • (iii)$\lim_{R\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d\backslash B({\bf 0},R)} d^dr~|\psi({\bf r})|^2 ~=~0,$

   dónde$B({\bf 0},R)$denota una bola en el origen con radio$R$.

3. Condiciones suficientes para un estado ligado son la condición (i) junto con

   • (iv) si el potencial es asintóticamente mayor que la energía, en el sentido de que
     $$\exists k,K>0\forall |{\bf r}|\geq K:~~ V({\bf r})-E ~\geq~ \frac{\hbar^2k^2}{2m},$$

   y

   • (v) si$\psi$está ligado $$\exists c>0\forall {\bf r}\in\mathbb{R}^d:~~ |\psi({\bf r})|~\leq ~c.$$

   Ver, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí para el caso 1D.

4. La condición (iv) sugiere que existe un umbral de energía (dado por el valor asintótico mínimo del potencial) por encima del cual existe un continuo de estados de dispersión.

5. Por encima del umbral de energía, la solución (i) es oscilatoria y, por razones físicas, generalmente se espera que viole la condición (ii). Esto explica la segunda mitad de la pregunta del título de OP.

6. Sin embargo, se debe enfatizar que en casos especiales pueden existir estados vinculados en el continuo , ver, por ejemplo, la respuesta de Keith McClary.

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$^1$Aquí asumimos por simplicidad que el potencial$V$no es tan singular en el interior/bulto, que la solución (i) se vuelve singular allí.

¿Por qué, cuando existe un estado ligado estable, las energías de las funciones de onda estacionarias relacionadas son negativas?

Primero, necesitamos entender que la Energía es relativa, tanto en la mecánica cuántica como en la newtoniana. Esto significa que diferentes marcos de referencia determinarán diferentes valores para la energía de un objeto dado en un punto dado en el espacio y el tiempo.

En este caso, estamos permitiendo tener valores de energía negativos para la energía potencial delta de la siguiente manera.

𝑉(𝑥)=−𝜆 𝛿(𝑥) (donde 𝜆 es un número positivo)

Esto significa que, en este marco de referencia, consideramos todos los valores de Energía con un valor mínimo de 𝑉(𝑥) que es infinito negativo. Por lo tanto, se nos permite resolver la Ecuación de Schrödinger para todos los valores negativos y positivos de Energía.

Por el contrario, para el marco de referencia del problema de las partículas libres, consideramos que el valor mínimo de 𝑉(𝑥) es cero y que todos los valores de energía deben ser positivos para soluciones bien definidas.

Sin embargo, la conservación de la energía se mantiene en cualquier marco de referencia. Esto significa que, en un solo marco de referencia, la energía total (KE + PE) será constante en el tiempo.