Derivada temporal del vector de estado expresado en el espacio abstracto de Hilbert frente a una función de onda

Question

Derivada temporal del vector de estado expresado en el espacio abstracto de Hilbert frente a una función de onda

Tim

La ecuación de Schrödinger en el espacio de Hilbert se expresa como:

\frac{\partial}{\partial t} ψ (t) = \frac{- i}{ℏ} H ψ (t) .

$\frac{\partial}{\partial t} \psi(t) = \frac{-i}{\hbar}H\psi(t).$

Aquí $\frac{\partial}{\partial t} \psi(t) \equiv \psi'(t) \equiv\lim \limits_{h \to 0} [\frac{\psi(t+h)-\psi(t)}{h}]$ , y porqué $\psi(t)$ es un vector espacial de Hilbert, el límite se define mediante la convergencia a través de la norma. (En otras palabras, para cualquier $\epsilon>0$ existe un $h_\epsilon>0$ , tal que $\big|\big|\psi'(t)-(\frac{\psi(t+h)-\psi(t)}{h})\big|\big| < \epsilon$ para todos $|h|<h_\epsilon$ ). Entonces la convergencia depende del vector como un todo .

Pero en la realización de la función de onda (para una sola partícula), la ecuación de Schrödinger se expresa como

\frac{\partial}{\partial t} ψ (X; t) = \frac{- i}{ℏ} [- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + V] ψ (X; t) .

$\frac{\partial}{\partial t} \psi(x;t) = \frac{-i}{\hbar}\left [ - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V \right ] \psi(x;t).$

Aquí, sin embargo, $\frac{\partial}{\partial t} \psi(x;t)$ es una derivada parcial puntual con respecto a $t$ , por lo que la convergencia depende solo de cada punto individual $x$ de $\psi(x)$ por separado.

Si tomamos la expresión abstracta del espacio de Hilbert como definitiva (axiomáticamente), entonces, ¿cómo se puede demostrar que la realización de la función de onda realmente expresa lo mismo, dados los diferentes significados de $\frac{\partial}{\partial t}$ ?

Emilio Pisanty

En general, estos no se mantendrán, particularmente porque los espacios de Hilbert, en toda su generalidad, son bastante permisivos con los cambios de valor (discontinuos) siempre que estén en conjuntos de medida cero. Entonces, una pregunta más útil es "¿qué hipótesis adicionales se requieren para que las dos derivadas coincidan?", y preguntas relacionadas.

DanielC

No entiendo por qué debería haber alguna diferencia, porque en ambos casos hablamos de mapeos de un subconjunto de R básicamente al mismo espacio de Hilbert (el espacio abstracto y su realización como L^2 son isomorfos). La variable x (o p) se 'congela' cuando se analiza la derivada parcial en el caso de la función de onda y se 'oculta' y también se 'congela' cuando se considera el espacio abstracto...

joshfísica

Sobre la base de los comentarios de Emilio, solo intenté durante una hora probar que las dos nociones son las mismas siempre que cada una

ψ (t)

$\psi(t)$ es suave y

L^{2} (R)

$L^2(\mathbb R)$ , y no pude hacerlo, aunque sospecho que es verdad. Supongo que todo lo que prueba es que mi análisis está súper oxidado. Buena pregunta.

Tim

@DanielC: L ^ 2 es isomorfo al espacio abstracto debajo del producto interno de cada espacio respectivo. (Es decir, InnerL2(f,g) iff InnerAbstract(m(f),m(g)), donde m es la función de isomorfismo). Entonces las nociones de límite en cada espacio también se definen utilizando el producto interior de cada espacio, lo que no ocurre con el d/dt de la función de onda.

Tim

@EmilioPisanty: Ok, ¿qué hipótesis se requieren? ¿Todos (¿casi todos?) los vectores/funciones de onda que se encuentran realmente en QM se ajustan a esas hipótesis? Si no, entonces parece que no podemos enunciar los axiomas (la ecuación de Shrodinger en particular) de QM usando un espacio de Hilbert abstracto... Sin embargo, ese es el enfoque estándar/oficial.

Valter Moretti

@joshphysics ¡Hola, Josh! Agregué las pruebas, tal vez te interesen.

joshfísica

@V.Moretti ¡Gracias! Ciertamente me dan la debilidad actual de mi capacidad de análisis.

Respuestas (1)

Derivada temporal del vector de estado expresado en el espacio abstracto de Hilbert frente a una función de onda

En general, estos no se mantendrán, particularmente porque los espacios de Hilbert, en toda su generalidad, son bastante permisivos con los cambios de valor (discontinuos) siempre que estén en conjuntos de medida cero. Entonces, una pregunta más útil es "¿qué hipótesis adicionales se requieren para que las dos derivadas coincidan?", y preguntas relacionadas.
No entiendo por qué debería haber alguna diferencia, porque en ambos casos hablamos de mapeos de un subconjunto de R básicamente al mismo espacio de Hilbert (el espacio abstracto y su realización como L^2 son isomorfos). La variable x (o p) se 'congela' cuando se analiza la derivada parcial en el caso de la función de onda y se 'oculta' y también se 'congela' cuando se considera el espacio abstracto...
Sobre la base de los comentarios de Emilio, solo intenté durante una hora probar que las dos nociones son las mismas siempre que cada una $\psi(t)$ es suave y $L^2(\mathbb R)$ , y no pude hacerlo, aunque sospecho que es verdad. Supongo que todo lo que prueba es que mi análisis está súper oxidado. Buena pregunta.
@DanielC: L ^ 2 es isomorfo al espacio abstracto debajo del producto interno de cada espacio respectivo. (Es decir, InnerL2(f,g) iff InnerAbstract(m(f),m(g)), donde m es la función de isomorfismo). Entonces las nociones de límite en cada espacio también se definen utilizando el producto interior de cada espacio, lo que no ocurre con el d/dt de la función de onda.
@EmilioPisanty: Ok, ¿qué hipótesis se requieren? ¿Todos (¿casi todos?) los vectores/funciones de onda que se encuentran realmente en QM se ajustan a esas hipótesis? Si no, entonces parece que no podemos enunciar los axiomas (la ecuación de Shrodinger en particular) de QM usando un espacio de Hilbert abstracto... Sin embargo, ese es el enfoque estándar/oficial.
@joshphysics ¡Hola, Josh! Agregué las pruebas, tal vez te interesen.
@V.Moretti ¡Gracias! Ciertamente me dan la debilidad actual de mi capacidad de análisis.

Valter Moretti · Answer 1

asumo de ahora en adelante $\hbar=1$ . La forma correcta de pensar en la ecuación de Schroedinger en un espacio de Hilbert $\cal H$ (refiriéndose a un hamiltoniano autoadjunto $H : D(H) \to \cal H$ , con $D(H)\subset \cal H$ un subespacio denso) es aquel en el que la derivada del tiempo se refiere a la topología del espacio de Hilbert (como se notó correctamente al comienzo de la pregunta publicada):

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} ψ_{t} = - i H ψ_{t} . \end{matrix}

$\frac{d}{dt} \psi_t = -i H \psi_t\tag{1}\:.$

Arriba $\psi_t := e^{-itH} \psi$ y $\psi \in D(H)$ . Este último requisito garantiza que $\psi_t \in D(H)$ para cada $t \in \mathbb R$ y que el $t$ -derivado $\frac{d}{dt} \psi_t$ existe en el sentido de la topología del espacio de Hilbert y, finalmente, que (1) es cierto.

Sin embargo, una interpretación ingenua de la ecuación de Schroedinger supone que la $t$ -derivada está en el sentido estándar de una función de onda $\psi=\psi(t,x)$ suficientemente uniforme en ambas variables, y la ecuación misma se interpreta en el sentido de la PDE estándar, suponiendo que $H$ es la (con suerte única) extensión autoadjunta de un operador diferencial $H_x = -\frac{1}{2m} \Delta_x + V(x)$ con $V$ al menos continuo:

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial}{\partial t} ψ (t, X) = - i H_{X} ψ (t, X) . \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x) = -i H_x \psi(t,x)\tag{2}\:.$

Esta segunda interpretación es insostenible en el caso general por varias razones. En particular, es falso que todas las soluciones de (1) resuelvan (2), porque las funciones de onda que resuelven (1) son elementos de $D(H) \subset {\cal H} = L^2(\mathbb R^3, dx)$ y así (a) se definen hasta el conjunto de medida cero y (b), en general, no es posible obtener una función continua cambiando la inicial sobre un conjunto de medida cero. (La razón es que la extensión autoadjunta $H$ de $H_x$ deja de ser un operador diferencial.)

Sin embargo, podría suceder que uno encuentre una solución de (2) $\psi=\psi(t,x)$ que es diferenciable en $t$ para cada $x$ y suficientemente regular en $x$ dependiendo de la regularidad de $V$ para pertenecer a $D(H_x)\subset D(H)$ . Lo hace $\psi$ resolver (1)?

Lo único que hay que comprobar es si, en casi todas partes $x$ y por un dado $t \in \mathbb R$ ,

\begin{matrix} (3) & (\frac{d}{d t} ψ_{t}) (X) = \frac{\partial}{\partial t} ψ (t, X) . \end{matrix}

$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)\:.\tag{3}$

Tenemos un par de hechos elementales:

(A) Si ambos lados de (3) existen, y el lado derecho pertenece a $L^2(\mathbb R^3, dx)$ , (3) tiene .

(B) Si hay $\epsilon>0$ y $g_{t} \in L^2(\mathbb R^3, dx)$ , con

| \frac{\partial}{\partial τ} ψ (τ, X) | \leq | {gramo}_{t} (X) | casi en todas partes en X, \forall τ \in (t - ϵ, t + ϵ)

$\left|\frac{\partial}{\partial \tau} \psi(\tau,x)\right| \leq |g_{t}(x)|\quad \mbox{almost everywhere in $x$, } \forall \tau \in (t-\epsilon, t+\epsilon)$ entonces el lado izquierdo de (3) existe (y (3) se cumple para (A)) .

ANEXO .

BOCETO DE PRUEBA

Con respecto a (A), dado que el $t$ derivada existe en el sentido de la topología del espacio de Hilbert, sabemos que

\underset{h \to 0}{límite} \int {| \frac{1}{h} (ψ_{t + h} (X) - ψ_{t} (X)) - \frac{d ψ_{t} (X)}{d t} |}^{2} d X = 0

$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) - \frac{d \psi_t(x)}{dt}\right|^2 dx=0$ Un resultado conocido de

L^{p}

$L^p$ La teoría de los espacios dice que si

f_{n} \to f

$f_n \to f$ como

n \to + \infty

$n\to +\infty$ en

L^{p}

$L^p$ , hay una subsecuencia con

f_{n_{k}} \to f

$f_{n_k} \to f$ casi en todas partes como

k \to + \infty

$k \to +\infty$ . Por lo tanto hay una secuencia

h_{k} \to 0

$h_k \to 0$ como

k \to + \infty

$k\to +\infty$ , tal que, casi en todas partes en

x

$x$ ,

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{h_{k}} (ψ_{t + h_{k}} (X) - ψ_{t} (X)) \to \frac{d ψ_{t} (X)}{d t} . \end{matrix}

$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{d \psi_t(x)}{dt}\:.\tag{4}$ Por otro lado sabemos que, sólo porque

\frac{\partial ψ (t, x)}{\partial t}

$\frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}$ existe, por cada

x

$x$ también tenemos

\frac{1}{h} (ψ_{t + h} (X) - ψ_{t} (X)) \to \frac{\partial ψ (t, X)}{\partial t} si h \to 0 .

$\frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $h\to 0$}.$ Por lo tanto, en particular, de nuevo para cada

x

$x$ ,

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{h_{k}} (ψ_{t + h_{k}} (X) - ψ_{t} (X)) \to \frac{\partial ψ (t, X)}{\partial t} si k \to \infty . \end{matrix}

$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $k\to \infty$}\:.\tag{5}$ Comparando (4) y (5), concluimos que (A) se cumple:

(\frac{d}{d t} ψ_{t}) (X) = \frac{\partial}{\partial t} ψ (t, X)

$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)$ casi en todas partes en

x

$x$ . Entonces que (A) es verdadera.

En cuanto a (B), lo que hay que probar es que:

\begin{matrix} (6) & \underset{h \to 0}{límite} \int {| \frac{1}{h} (ψ (t + h, X) - ψ (t, X)) - \frac{\partial ψ (t, X)}{\partial t} |}^{2} d X = 0 . \end{matrix}

$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2dx =0\:.\tag{6}$ El teorema de Lagrange nos permite reescribir la integral como:

\int {| \frac{\partial ψ (τ, X)}{\partial τ} |_{τ = t_{X, h}} - \frac{\partial ψ (τ, X)}{\partial τ} |_{τ = t} |}^{2} d X

$\int \left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 dx$ dónde

t_{x, h} \in [t - h, t + h]

$t_{x,h} \in [t-h,t+h]$ . En nuestras hipótesis también tenemos que:

{| \frac{\partial ψ (τ, X)}{\partial τ} |_{τ = t_{X, h}} - \frac{\partial ψ (τ, X)}{\partial τ} |_{τ = t} |}^{2} \leq 2 | {gramo}_{t} (X) |^{2}

$\left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 \leq 2|g_t(x)|^2$ casi en todas partes en

x

$x$ y para todos suficientemente pequeños

h

$h$ . El teorema de convergencia dominada de Lebesgue implica que el símbolo de integral y el de límite pueden intercambiarse en la RHS de (6), obteniendo

\underset{h \to 0}{límite} \int {| \frac{1}{h} (ψ (t + h, X) - ψ (t, X)) - \frac{\partial ψ (t, X)}{\partial t} |}^{2} d X

$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx$

= \int \underset{h \to 0}{límite} {| \frac{1}{h} (ψ (t + h, X) - ψ (t, X)) - \frac{\partial ψ (t, X)}{\partial t} |}^{2} d X = 0,

$= \int \lim_{h\to 0}\left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx =0\:,$ como quería

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