¿Existe algún potencial cuántico que produzca valores propios exponenciales?

Los potenciales centrales habituales producen espectros cuánticos con niveles de energía que van como norte , norte 2 , norte 3 y así sucesivamente, siendo norte el número cuántico de la órbita. En el otro extremo tenemos potenciales "dirac-delta" que tienen un solo valor propio discreto. Me preguntaba, ¿qué tipo de potencial necesitamos para producir un exponencial mi norte conjunto de valores propios discretos?

Respuestas (1)

Para potenciales 1D, la secuencia de valores propios de energía de estado ligado mi norte no puede crecer más rápido que lo que sucede en el caso de un pozo infinito , es decir mi norte no puede crecer más rápido que norte 2 .

Nota añadida: este límite también se mantiene en dimensiones superiores.
Todavía estoy preocupado porque puedo fabricar un potencial con cualquier conjunto finito arbitrario de estados ligados. Hay algo de magia fina de convergencia aquí.
Adivinando... un conjunto finito de estados ligados que crecen exponencialmente podría aproximarse a algún potencial de tipo "mareal", V ( X ) ∼ 1 / X 2 , no podría?
Un potencial 1D atractivo negativo de la forma asintótica
− V ( X ) ∼ 1 / X 2 para | X | → ∞
(donde suponemos implícitamente que una singularidad en X = 0 ha sido regularizado) conduciría a niveles de energía en decaimiento exponencial
− mi norte ∼ mi − m norte para norte → ∞ .
Este potencial también se discute en esta respuesta de Phys.SE.
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