Solución para el potencial del cuadrado inverso en d = 3d = 3d = 3 dimensiones espaciales en mecánica cuántica [duplicado]

Se puede demostrar que el potencial del cuadrado inverso

$$V(r)~=~\frac{\hbar^2}{2m}\frac{c}{r^2}~\propto~\frac{1}{r^2}, \tag{1}$$

en$d$dimensiones espaciales matemáticamente hablando tiene tres alternativas, dependiendo de la constante de proporcionalidad adimensional

$$c_d~\equiv~\frac{(d-1)(d-3)}{4}+c~\equiv~\varkappa^2-\frac{1}{4}~\in~\mathbb{R}.\tag{2}$$

1. Caso$c_d < -\frac{1}{4}$: El espectro es ilimitado desde abajo, es decir, el sistema es inestable.

2. Caso$c_d\geq \frac{3}{4}$: No hay estados ligados en absoluto.

3. Caso$-\frac{1}{4} \leq c_d < \frac{3}{4}$: Es posible definir condiciones de contorno asintóticas (ABC) en$r=0$/ Extensiones autoadjuntas del hamiltoniano, de modo que el espectro está acotado desde abajo. Algunas de estas extensiones tienen estados vinculados, otras no.

Desde el punto de vista de la física, puede parecer antinatural que las conclusiones dependan de ABC ajustables impuestos en$r=0$. La tradición física habitual es que un potencial cuadrado inverso es solo una descripción efectiva, y que presumiblemente debería surgir una nueva física para resolver la singularidad en$r=0$. De ahora en adelante, en esta respuesta, solo discutiremos el problema puramente matemático en cuestión, incluso si es algo académico.

En primer lugar, las excitaciones angulares solo empujan la energía hacia arriba, nunca hacia abajo, por lo que es suficiente para analizar esféricamente simétrica.$s$-ondas

$$\psi(r) ~\equiv~r^{\frac{1-d}{2}}u(r) , \qquad u(r)~\equiv~\sqrt{r}~ v(r) ,\tag{3}$$ y por lo tanto la energía funcional se simplifica a

$$\begin{align}\frac{2m}{\hbar^2} \frac{\langle \psi | \hat{H} \psi \rangle}{{\rm Vol}(S^{d-1})} &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \!r^{d-1}~ dr~ \psi(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial^2}{\partial r^2}-\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{c}{r^2}\right) \psi(r) \cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ u(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{c_d}{r^2}\right) u(r)\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ v(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial}{\partial r}r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\varkappa^2}{r}\right) v(r). \tag{4}\end{align}$$

1) Prueba de caso esbozada$c_d< -\frac{1}{4}$: Estudiemos una función de ensayo/prueba

$$u(r)~=~ r^{p}e^{-r/2}, \qquad \frac{1}{2}~<p~<~\sqrt{-c_d}, \tag{5}$$

en el limite

$$p ~\searrow~ \frac{1}{2}. \tag{6}$$

La norma cuadrada

$$\frac{||\psi||^2}{{\rm Vol}(S^{d-1})}~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ |u(r)|^2~=~ (2p)! ~\searrow~ 1 \quad\text{for}\quad p ~\searrow~ \frac{1}{2} \tag{7}$$

es finito El funcional de energía (4) se simplifica a (después de la integración por partes)

$$\begin{align}\frac{2m}{\hbar^2} \frac{\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle}{{\rm Vol}(S^{d-1})} &~\stackrel{(4)}{=}~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr \left( |u^{\prime}(r)|^2 +\frac{c_d}{r^2} |u(r)|^2\right) \cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr \left( \left(p-\frac{r}{2}\right)^2+c_d \right)r^{2p-2}e^{-r}\cr &~=~ \underbrace{(p^2+c_d)}_{<0}\underbrace{\int_{\mathbb{R}_+} \! dr ~r^{2p-2}e^{-r}}_{=(2p-2)!}+\text{finite terms}\cr &~\to~ -\infty\quad\text{for}\quad p ~\searrow~ \frac{1}{2},\tag{8} \end{align}$$

y es ilimitado desde abajo.$\Box$

A la luz de la sección anterior, supongamos que$\varkappa^2~\equiv~c_d+\frac{1}{4}\geq 0$de ahora en adelante. El TISE radial

$$\frac{\hbar^2}{2m}\left(-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\varkappa^2}{r^2}\right) v(r) ~=~ -|E|v(r), \qquad v(r\!=\!\infty)~=~0, \tag{9}$$

para estados ligados se convierte en la ecuación de Bessel modificada . La solución

$$\begin{align}v(r)~~\propto~&~ K_{\varkappa}(\rho) ~~\propto~~ -\frac{\sin (\varkappa\pi)}{\pi/2}K_{\varkappa}(\rho) ~=~I_{\varkappa}(\rho)-I_{-\varkappa}(\rho) \cr ~~\stackrel{\rho\ll 1}{\sim}&~~ \frac{(\rho/2)^{\varkappa}}{\Gamma(1+\varkappa)} -\frac{(2/\rho)^{\varkappa}}{\Gamma(1-\varkappa)} , \end{align} \tag{10}$$ $$\rho ~\equiv~\frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar}r, \tag{11}$$

es una función de Bessel modificada del segundo tipo. El problema (9) tiene una simetría de escala, por lo que el espectro de energía se vuelve ilimitado desde abajo a menos que impongamos un ABC pertinente en$r=0$.

2) Prueba de caso esbozada$c_d\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \varkappa\geq 1$: El$\psi$-la función de onda (10) no es integrable al cuadrado en$r=0$. En otras palabras, ABC pertinente en$r=0$prohíbe el$\psi$-función de onda (10).$\Box$

3) Prueba de caso esbozada$-\frac{1}{4} \leq c_d < \frac{3}{4}\Leftrightarrow 0\leq \varkappa<1$: Ahora imponemos ABC (12) en$r=0$:

$$v(r)~~\propto~~(k_0r)^{\varkappa} + \lambda (k_0r)^{-\varkappa} + O(r), \qquad k_0r ~\ll~1, \qquad \lambda~\in~\mathbb{R}, \tag{12}$$

dónde

$$k_0~\equiv~\frac{mc}{\hbar}\tag{13}$$

es el número de onda de Compton, es decir, la longitud de onda de Compton reducida recíproca . Aquí$\lambda\in\mathbb{R}$es un parámetro adimensional fijo. Comparando ecs. (10) y (11), en el caso$0< \varkappa<1$, esto conduce a un solo estado ligado

$$E~=~- 2mc^2 \left|\lambda\frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)} \right|^{-1/\varkappa} \quad \text{for}\quad \lambda~<~0,\tag{14}$$

y sin estados ligados si$\lambda\geq 0$. El caso$\varkappa=0$tiene conclusiones similares. Ver ref. 3 para más detalles.$\Box$

Referencias:

1. AM Essin & DJ Griffiths, Mecánica cuántica de la$1/x^2$potencial, Am. J. física. 74 (2006) 109 .

2. LD Landau y EM Lifshitz, QM, vol. 3, 3ª ed., 1981;$\S$35.

3. DM Gitman, IV Tyutin y BL Voronov, arXiv:0903.5277 . (Consejo de sombrero: JamalS .)

Este es el potencial Calogero . Parece al menos físicamente sensato. Tenga en cuenta la desigualdad,

$$\int_{\mathbb R^3} \frac{1}{4r^2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x \leq \int_{\mathbb R^3}|\nabla\psi(x)|^2 \mathrm d^3x$$

que vale para cualquier$\psi \in C^\infty_0(\mathbb R^3)$. con un potencial$V=cr^{-2}$el hamiltoniano es algo asi$H = -\nabla^2 + cr^{-2}$y tenemos eso,

$$\langle H \rangle = \int_{\mathbb R^3} \bar \psi(x)\left(-\nabla^2 + cr^{-2}\right)\psi(x)\, \mathrm d^3x = \int_{\mathbb R^3} |\nabla \psi(x)|^2 + cr^{-2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x.$$

Para un potencial adecuadamente elegido, es decir, con$-c \leq \frac14$, tenemos eso$\langle H \rangle \geq 0$, o en palabras, estamos garantizados para tener el hamiltoniano acotado desde abajo, lo cual es físicamente sensible. Esto también nos permite tener alguna opción de extensión autoadjunta, a través de la extensión de Friedrichs.

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Espectro

Para$c \geq \frac34$, solo existe un hamiltoniano autoadjunto, cuyo espectro es$\mathbb R_+$. Las funciones propias generalizadas normalizadas son,

$$u_{1,E}(x) = \sqrt{\frac{x}{2}} J_\varkappa(\sqrt{E}x)$$

para$E \geq 0$y una función de Bessel particular,$J_\varkappa$.

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Para$-\frac14 < c < \frac34$, hay un parámetro$U(1)$-familia de hamiltonianos autoadjuntos. Las funciones propias normalizadas son,

$$u_{2,\lambda,E}(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\frac{J_\varkappa(\sqrt E x) + \gamma\sqrt{x} J_{-\varkappa}(\sqrt E x)}{\sqrt{1+2\gamma \cos\pi\varkappa} + \gamma^2}$$

dónde$\gamma = \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}(E/4k^2_0)^\varkappa$. Para$\lambda \geq 0$tenemos el mismo espectro, pero para negativo$\lambda$, uno tiene,

$$\mathrm{spec} \, H_{2,\lambda} = \left\{-4k^2_0 \bigg\rvert \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}\bigg\rvert^{-1/\varkappa} \right\} \cup [0,\infty)$$

que tiene un estado ligado. Puede encontrar más en Extensiones autoadjuntas y análisis espectral en el problema de Calogero, que es el tratamiento más completo e independiente que pude encontrar; se tratan los demás casos, así como aspectos adicionales del problema.