¿Cuándo el enésimo estado límite de un potencial cuántico 1D tiene nnn máximos/mínimos?

Question

¿Cuándo el enésimo estado límite de un potencial cuántico 1D tiene nnn máximos/mínimos?

Michael Seifert

En el libro de texto de introducción a la física de Moore, Six Ideas that Shaped Physics , describe un conjunto de reglas cualitativas que los estudiantes de física de primer año pueden usar para dibujar funciones propias de energía en un potencial mecánico cuántico 1D. Muchos de estos son básicamente el formalismo WKB disfrazado; por ejemplo, introduce una noción de "longitud de onda local" y justifica el cambio de amplitud en términos de que la partícula clásica pasa más tiempo allí. También señala que la función de onda debe ser "similar a una onda" en la región permitida clásicamente, y "similar a una exponencial" en la región prohibida clásicamente.

Sin embargo, utiliza una regla que parece funcionar para muchos (pero no todos) los potenciales cuánticos:

Él $n$ estado excitado $\psi_n(x)$ de una partícula en un potencial 1D tiene $n$ extremos

Esto es cierto para la partícula en una caja (ya sea infinita o finita), el oscilador armónico simple, el potencial de neutrones que rebota y, presumiblemente, una gran cantidad de otros potenciales cuánticos 1D. Sin embargo, no es cierto para una partícula en un pozo doble de profundidad finita; el estado fundamental, que tiene una función de onda simétrica, tiene dos máximos (uno en cada pozo de potencial) y un mínimo (en el punto medio entre los pozos).

Surgen entonces las siguientes preguntas:

¿Hay condiciones que podamos poner en $V(x)$ que garantizan que la declaración citada arriba es verdadera? Por ejemplo, ¿es verdadera la afirmación si $V(x)$ solo tiene un minimo? ¿Es verdadera la afirmación si la región clásicamente permitida para cualquier energía es una porción conexa de $\mathbb{R}$ ? (La segunda declaración es un poco más débil que la primera).
¿Podemos generalizar esta afirmación para que sea válida para cualquier potencial $V(x)$ ? Quizás hay una condición sobre el número de máximos y mínimos de $V(x)$ y $\psi_n(x)$ ¿conjunto?

Sospecho que si se puede hacer una declaración en este sentido, surgirá de la ortogonalidad de las funciones de onda con respecto a algún producto interno determinado por las propiedades del potencial. $V(x)$ . Pero no estoy lo suficientemente versado en la teoría de operadores para encontrar un argumento fácil sobre esto. También me interesaría cualquier contraejemplo interesante a esta afirmación que la gente pueda presentar.

AccidentalFourierTransformar

Buena pregunta. Apuesto a que esto ha sido adecuadamente caracterizado por los matemáticos (digamos, en la teoría de Sturm-Liouville; por alguna razón, estoy pensando en Chebyshev en este momento). Tal vez math.SE tenga algo que decir. Por cierto, encontré esto en línea: "funciones propias,

y_{j}

$y_j$ , poseen nodos entre

a

$a$ y

b

$b$ , el número de tales nodos aumenta con el aumento

j

$j$ . la función propia

y_{0} (x)

$y_0(x)$ no tiene nodos,

y_{1} (x)

$y_1(x)$ tiene un nodo, y así sucesivamente". Ver aquí también ( ctrl+F"nodo"),

OON

Ese teorema es sobre ceros de n-ésimo estado propio -

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ tiene n ceros. Probablemente realmente puedas decir algo sobre la combinación de extremos de ambos

V (x)

$V(x)$ y

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ pero no creo que haya un teorema probado

Ladrillo Cuántico

En un pozo de potencial infinito, su operador es compacto, lo que significa que su espectro será contable. Entonces la energía aumenta con

n^{2}

$n^2$ (lo que significa que aumenta monótonamente), y dado que las soluciones son oscilatorias y están sujetas a condiciones de contorno que cancelan la función de onda en las paredes, la única opción es desarrollar un nuevo extremo para cada valor de aumento

n

$n$ . Si su operador ya no es compacto, entonces no puede decir nada sobre el espectro, excepto que no es contable , por lo tanto, no sigue esa regla. El pozo de potencial finito es un buen ejemplo.

AccidentalFourierTransformar

@OON ceros y nodos son esencialmente lo mismo, porque la función de onda es continua y diferenciable (teorema de Rolle: " cualquier función diferenciable de valor real que alcanza valores iguales en dos puntos distintos debe tener un punto estacionario en algún lugar entre ellos ")

OON

@AccidentalFourierTransform ceros y nodos son lo mismo. Los ceros y los extremos no lo son. Y el modo cero NO debe tener ceros, pero puede poseer tres extremos si tiene un pequeño pozo en la parte superior de una gran curva de campana (para el potencial que tiene dos pozos cerca uno del otro).

Respuestas (1)

¿Cuándo el enésimo estado límite de un potencial cuántico 1D tiene nnn máximos/mínimos?

Buena pregunta. Apuesto a que esto ha sido adecuadamente caracterizado por los matemáticos (digamos, en la teoría de Sturm-Liouville; por alguna razón, estoy pensando en Chebyshev en este momento). Tal vez math.SE tenga algo que decir. Por cierto, encontré esto en línea: "funciones propias, $y_j$ , poseen nodos entre $a$ y $b$ , el número de tales nodos aumenta con el aumento $j$ . la función propia $y_0(x)$ no tiene nodos, $y_1(x)$ tiene un nodo, y así sucesivamente". Ver aquí también ( ctrl+F"nodo"),
Ese teorema es sobre ceros de n-ésimo estado propio - $\psi_n(x)$ tiene n ceros. Probablemente realmente puedas decir algo sobre la combinación de extremos de ambos $V(x)$ y $\psi_n(x)$ pero no creo que haya un teorema probado
En un pozo de potencial infinito, su operador es compacto, lo que significa que su espectro será contable. Entonces la energía aumenta con $n^2$ (lo que significa que aumenta monótonamente), y dado que las soluciones son oscilatorias y están sujetas a condiciones de contorno que cancelan la función de onda en las paredes, la única opción es desarrollar un nuevo extremo para cada valor de aumento $n$ . Si su operador ya no es compacto, entonces no puede decir nada sobre el espectro, excepto que no es contable , por lo tanto, no sigue esa regla. El pozo de potencial finito es un buen ejemplo.
@OON ceros y nodos son esencialmente lo mismo, porque la función de onda es continua y diferenciable (teorema de Rolle: " cualquier función diferenciable de valor real que alcanza valores iguales en dos puntos distintos debe tener un punto estacionario en algún lugar entre ellos ")
@AccidentalFourierTransform ceros y nodos son lo mismo. Los ceros y los extremos no lo son. Y el modo cero NO debe tener ceros, pero puede poseer tres extremos si tiene un pequeño pozo en la parte superior de una gran curva de campana (para el potencial que tiene dos pozos cerca uno del otro).

qmecanico · Answer 1

I) Consideramos el TISE 1D

\begin{matrix} (1) & - ψ_{norte}^{''} (X) + V (X) ψ_{norte} (X) = {mi}_{norte} ψ_{norte} (X) . \end{matrix}

$-\psi^{\prime\prime}_n(x) +V(x)\psi_n(x) ~=~ E_n\psi_n(x) .\tag{1}$

II) Desde una física $^{\dagger}$ perspectiva, las condiciones más importantes son:

Que existe un estado fundamental $\psi_1(x)$ .
Que solo consideramos valores propios
$\begin{matrix} (2) & {mi}_{norte} < \underset{X \to \pm \infty}{límite de información} V (X) . \end{matrix}$ $E_n ~<~\liminf_{x\to \pm\infty}~ V(x). \tag{2}$ ecuación (2) implica las condiciones de contorno $\begin{matrix} (3) & \underset{X \to \pm \infty}{límite} ψ_{norte} (X) = 0 . \end{matrix}$ $\lim _{x\to \pm\infty} \psi_n(x)~=~0 .\tag{3}$ Entonces podemos considerar $x=\pm\infty$ como 2 nodos límite. (Si el $x$ -el espacio es un intervalo compacto $[a,b]$ , la notación $\pm\infty$ debe ser reemplazado con los puntos finales $a$ & $b$ , de una manera con suerte obvia.)

Observación: Usando la conjugación compleja en TISE (1), podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\psi_n$ es real y normalizado, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Eso lo supondremos a partir de ahora.

Observación: De un argumento wronskiano aplicado a dos funciones propias se sigue que los valores propios $E_n$ no son degenerados.

Observación: un nodo doble (o superior) $x_0$ no puede ocurrir, porque debe obedecer $\psi_n(x_0)=0=\psi^{\prime}_n(x_0)$ . La unicidad de una EDO de segundo orden implica que $\psi_n\equiv 0$ . Contradicción.

III) Definir

\begin{matrix} (4) & v (norte) := | {nodos interiores de ψ_{norte}} |, \end{matrix}

$\nu(n)~:=~|\{\text{interior nodes of }\psi_n\}|,\tag{4}$

\begin{matrix} (5) & {METRO}_{+} (norte) := | {puntos máximos locales X_{0} por | ψ_{norte} | con ψ_{norte} (X_{0}) > 0} |, \end{matrix}

$M_+(n)~:=~|\{\text{local max points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)>0\}|,\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & {METRO}_{-} (norte) := | {puntos máximos locales X_{0} por | ψ_{norte} | con ψ_{norte} (X_{0}) < 0} |, \end{matrix}

$M_-(n)~:=~|\{\text{local max points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)<0\}|,\tag{6}$

\begin{matrix} (7) & {metro}_{+} (norte) := | {puntos mínimos locales X_{0} por | ψ_{norte} | con ψ_{norte} (X_{0}) > 0} |, \end{matrix}

$m_+(n)~:=~|\{\text{local min points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)>0\}|,\tag{7}$

\begin{matrix} (8) & {metro}_{-} (norte) := | {puntos mínimos locales X_{0} por | ψ_{norte} | con ψ_{norte} (X_{0}) < 0} |, \end{matrix}

$m_-(n)~:=~|\{\text{local min points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)<0\}|,\tag{8}$

\begin{matrix} (9) & METRO (norte) := | {puntos máximos locales para | ψ_{norte} |} | = {METRO}_{+} (norte) + {METRO}_{-} (norte), \end{matrix}

$M(n)~:=~|\{\text{local max points for }|\psi_n|\}|~=~M_+(n)+M_-(n), \tag{9}$

\begin{matrix} (10) & metro (norte) := | {puntos mínimos locales X_{0} por | ψ_{norte} | con ψ_{norte} (X_{0}) \neq 0} | = {metro}_{+} (norte) + {metro}_{-} (norte), \end{matrix}

$m(n)~:=~|\{\text{local min points $x_0$ for $|\psi_n|$ with }\psi_n(x_0)\neq 0\}|~=~m_+(n)+m_-(n), \tag{10}$

\begin{matrix} (11) & Δ {METRO}_{\pm} (norte) := {METRO}_{\pm} (norte) - {metro}_{\pm} (norte) \geq 0. \end{matrix}

$\Delta M_{\pm}(n)~:=~M_{\pm}(n)-m_{\pm}(n)~\geq~0.\tag{11}$

Observación. Máx. (mín.) puntos locales para $|\psi_n|\neq 0$ sólo puede ocurrir en intervalos permitidos (prohibidos) clásicos, es decir, intervalos oscilatorios (exponenciales), respectivamente.

Tenga en cuenta que los roles de $\pm$ voltear si cambiamos el signo general de la función de onda real $\psi_n$ .

Proposición.
$\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} Δ {METRO}_{+} (norte) + Δ {METRO}_{-} (norte) = & v (norte) + 1, \\ | Δ {METRO}_{+} (norte) - Δ {METRO}_{-} (norte) | = & 2 F r a C (\frac{v (norte) + 1}{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\Delta M_+(n)+\Delta M_-(n)~=~&\nu(n)+1, \cr |\Delta M_+(n)-\Delta M_-(n)|~=~&2~{\rm frac}\left(\frac{\nu(n)+1}{2}\right).\end{align}\tag{12}$

Prueba esbozada: use consideraciones similares a las de Morse. $\Box$

IV) Finalmente centrémonos en los nodos.

Lema. Si $E_n<E_m$ , entonces por cada par de 2 nodos consecutivos para $\psi_n$ , la función propia $\psi_m$ tiene al menos un nodo estrictamente en el medio.

Prueba bosquejada del lema: use un argumento wronskiano aplicado a $\psi_n$ & $\psi_m$ , cf. referencias 1-2. $\Box$

Teorema. Con los supuestos anteriores de la Sección II, el $n$ función propia $\psi_n$ posee
$\begin{matrix} (13) & v (norte) = norte - 1. \end{matrix}$ $\nu(n)~=~n\!-\!1.\tag{13}$

Demostración esbozada del teorema:

$\nu(n) \geq n\!-\!1$ : Utilice Lema. $\Box$
$\nu(n) \leq n\!-\!1$ : Función propia truncada $\psi_n$ tal que solo se admite entre 2 nodos consecutivos. Si hay demasiados nodos, habrá demasiadas funciones propias independientes en un argumento variacional mínimo-máximo , lo que conducirá a una contradicción, cf. Árbitro. 1. $\Box$

Observación: ref. 2 presenta un argumento heurístico intuitivo para el teorema: imagina que $V(x)=V_{t=1}(x)$ pertenece a una familia continua de potencial de 1 parámetro $V_{t}(x)$ , $t\in[0,1]$ , tal que $V_{t=0}(x)$ satisface la propiedad (4). Tome por ejemplo $V_{t=0}(x)$ ser el potencial del oscilador armónico o el potencial del pozo infinito . Ahora bien, si se desarrolla un nodo adicional en algún $(t_0,x_0)$ , debe ser un nodo doble/superior. Contradicción.

Referencias:

R. Hilbert & D. Courant, Métodos de Matemáticas. física, vol. 1; Sección VI.
M.Moriconi, Am. J. física. 75 (2007) 284 , arXiv:quant-ph/0702260 .

--

$^{\dagger}$ Para un tratamiento matemático más riguroso, considere preguntar en MO.SE o Math.SE.

Buena respuesta. Tenga en cuenta que si el potencial $V(x)$ solo tiene un mínimo (como es el caso de todos los casos que cité anteriormente para los cuales la proposición se cumple, pero no para el doble cuadrado finito), entonces nunca habrá una región clásicamente prohibida para cualquier $E$ eso tampoco incluye $+\infty$ o $-\infty$ . Creo que esto implica entonces que no habrá mínimos locales de $|\psi_n(x)|$ , y por lo tanto que $\Delta M_+ + \Delta M_- = M = \nu + 1$ .

¿Cuándo el enésimo estado límite de un potencial cuántico 1D tiene nnn máximos/mínimos?

Michael Seifert

AccidentalFourierTransformar

OON

Ladrillo Cuántico

AccidentalFourierTransformar

OON

Respuestas (1)

qmecanico

Michael Seifert

qmecanico

Continuidad y suavidad de la función de onda

Solución para el potencial del cuadrado inverso en d = 3d = 3d = 3 dimensiones espaciales en mecánica cuántica [duplicado]

Quantum introductorio, problemas con esta condición límite y potencial

Electrón viajando a través de un potencial de paso de V0V0V_0 a 0

La solución explícita de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una partícula libre que comienza como una función delta

¿Cuándo son reales las funciones propias/funciones de onda?

¿Cómo encontramos el número de estados acotados en este potencial?

Función de onda de una partícula en un campo gravitatorio

¿Es el potencial del oscilador armónico único en tener niveles de energía discretos igualmente espaciados?

Pozo de potencial finito, cuadrado