Estimación de la energía disipada por un amortiguador/amortiguador

Question

Estimación de la energía disipada por un amortiguador/amortiguador

Jennifer

Tengo un sistema con una masa $m$ unido al extremo de un cable. La masa del cable se supone despreciable. El cable está conectado a tierra en un extremo mientras que el otro, con la masa adjunta $m$ , se mueve verticalmente con una velocidad conocida $v$ . El cable se modela como un sistema de segundo orden con valores conocidos para el amortiguamiento $b$ y primavera $k$ coeficientes Estoy tratando de usar el principio de conservación de la energía para determinar la fuerza de impulso que resulta en el cable (específicamente en el extremo móvil) cuando el cable se tensa, pero tengo problemas para contabilizar la energía disipada debido a la amortiguación del cable. El cable está bien amortiguado y esto reduce significativamente la fuerza de impulso generada. He configurado el siguiente sistema de ecuaciones, ¿alguien tiene algún consejo sobre cómo puedo resolverlos? ¿Supongo que necesito seguir algún tipo de proceso iterativo? ¿O hay un método alternativo que podría seguir que sería más simple?

{mi}_{1} = {mi}_{2}

$E_1 = E_2$

{mi}_{1} = \frac{1}{2} metro v_{1}^{2}

$E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$

{mi}_{2} = \frac{1}{2} k X^{2} + metro gramo X + \int_{0}^{t} b v (t)^{2} d t

$E_2 = \frac{1}{2}kx^2 +mgx + \int_0^t bv(t)^2 dt$

v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a (t) d t

$v(t) = v_0 + \int_0^ta(t) dt$

a (t) = F (t) / metro

$a(t) = F(t)/m$

F (t) = k X (t) + b v (t) + metro gramo

$F(t) = kx(t) + bv(t)+mg$

$E_1$ es la energía cinética el instante antes de que el cable comience a estirarse, mientras que $E_2$ es la energía del sistema cuando la masa ha llegado al reposo con el cable estirado verticalmente una cierta distancia $x$ . La energía en el sistema en $E_2$ es igual a la energía almacenada en el resorte, el aumento de energía potencial debido a que el cable se estira una distancia $x$ y la energía disipada por el amortiguador/amortiguador. Estoy tratando de resolver la Ecuación 3 para calcular el cambio en la longitud del cable. $x$ , que luego usaré para calcular la fuerza de impulso a partir de,

F_{i metro pag tu yo s mi} = k X

$F_{impulse} = kx$

¿Quizás la respuesta radica en usar estas ecuaciones con el principio de conservación del momento?

metro v_{1} = F_{i metro pag tu yo s mi} * t

$mv_1 = F_{impulse}*t$

También se supone que la masa no gira en el impacto y desprecio la disipación de energía debido a la propagación de ondas laterales o longitudinales en el cable.

floris

Un par de preguntas aclaratorias: ¿el cable se considera sin masa? ¿Se produce amortiguamiento en todo el cable? ¿Puede dibujar un diagrama de la configuración? ¿Dónde se produce exactamente la amortiguación? Si está preguntando sobre la aceleración instantánea de la masa cuando se suelta (con la cuerda en tensión), esta es solo una solución de la ecuación diferencial para un oscilador armónico amortiguado con condiciones de contorno de v(0)=0. Deberías poder encontrar

d v / d t

$dv/dt$ y por tanto la aceleración, de la que se sigue la fuerza.

Gert

Esto no está claro: ¿un cable con propiedades amortiguadoras? ¿Te refieres a una cuerda elástica con un alto grado de histéresis? Diagrama, por favor.

Jennifer

Hola, @Floris, Gert, agregué un diagrama simple del modelo en el instante 1, justo antes de que el cable comience a estirarse. La masa se mueve verticalmente (solo, disculpe que el diagrama esté un poco torcido) con una velocidad inicial conocida

v = v_{1}

$v = v_1$ .

Jennifer

Para responder a su pregunta, @Floris, sí, descuido la masa del cable, uso valores agrupados para los coeficientes de resorte y amortiguación y asumo que son constantes en todo el cable. Estoy tratando de calcular la fuerza de impulso generada por la masa en movimiento en el cable tenso. Puedo obtenerlo de la aceleración instantánea de la liberación, pero luego necesito el cambio en la longitud del cable, ¿seguramente? Este valor es desconocido. Todo lo que he conocido es la velocidad.

v_{1}

$v_1$ y las propiedades del cable.

Jennifer

@Gert, me imagino que el cable tendría alguna contribución de histéresis, pero el cable no es muy elástico y, por lo tanto, lo modelo como insignificante. La amortiguación es el resultado de fuerzas de fricción internas en el cable que disipan la energía en forma de calor.

Respuestas (2)

Estimación de la energía disipada por un amortiguador/amortiguador

Un par de preguntas aclaratorias: ¿el cable se considera sin masa? ¿Se produce amortiguamiento en todo el cable? ¿Puede dibujar un diagrama de la configuración? ¿Dónde se produce exactamente la amortiguación? Si está preguntando sobre la aceleración instantánea de la masa cuando se suelta (con la cuerda en tensión), esta es solo una solución de la ecuación diferencial para un oscilador armónico amortiguado con condiciones de contorno de v(0)=0. Deberías poder encontrar $dv/dt$ y por tanto la aceleración, de la que se sigue la fuerza.
Esto no está claro: ¿un cable con propiedades amortiguadoras? ¿Te refieres a una cuerda elástica con un alto grado de histéresis? Diagrama, por favor.
Hola, @Floris, Gert, agregué un diagrama simple del modelo en el instante 1, justo antes de que el cable comience a estirarse. La masa se mueve verticalmente (solo, disculpe que el diagrama esté un poco torcido) con una velocidad inicial conocida $v = v_1$ .
Para responder a su pregunta, @Floris, sí, descuido la masa del cable, uso valores agrupados para los coeficientes de resorte y amortiguación y asumo que son constantes en todo el cable. Estoy tratando de calcular la fuerza de impulso generada por la masa en movimiento en el cable tenso. Puedo obtenerlo de la aceleración instantánea de la liberación, pero luego necesito el cambio en la longitud del cable, ¿seguramente? Este valor es desconocido. Todo lo que he conocido es la velocidad. $v_1$ y las propiedades del cable.
@Gert, me imagino que el cable tendría alguna contribución de histéresis, pero el cable no es muy elástico y, por lo tanto, lo modelo como insignificante. La amortiguación es el resultado de fuerzas de fricción internas en el cable que disipan la energía en forma de calor.

Juan Alexiou · Answer 1

Si inicialmente la masa está en $x=0$ y la velocidad inicial es $V$ entonces la respuesta de posición (subamortiguada) es:

X (t) = X Exp (- β t) pecado (ω t) = \frac{V}{ω} {mi}^{- ζ ω_{norte} t} pecado (ω t)

$x(t) = X \exp(-\beta t)\sin(\omega t) = \frac{V}{\omega} \mathrm{e}^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega t)$

dónde

\begin{aligned} ω_{norte} & = \sqrt{\frac{k}{metro}} \\ ζ & = \frac{d}{2 metro ω_{norte}} = \frac{d}{2 \sqrt{k metro}} \\ ω & = ω_{norte} \sqrt{1 - ζ^{2}} = \sqrt{\frac{k}{metro} - \frac{d^{2}}{4 {metro}^{2}}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \omega_n & = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \zeta & = \frac{d}{2 m \omega_n} = \frac{d}{2 \sqrt{k m}} \\ \omega &= \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{d^2}{4 m^2}} \end{aligned}$

La fuerza sobre la cuerda es $F=k x + d \dot{x}$ y el impulso es $J=\int F\,\mathrm{d}t$ definida sobre medio ciclo de oscilación. Conectando los rendimientos de respuesta de posición

j = \int_{0}^{\frac{π}{ω}} k X + d \dot{X} d t = = V metro (1 + {mi}^{- π \frac{ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}})

$J = \int \limits_0 ^ {\frac{\pi}{\omega}} k x + d \dot{x} \,\mathrm{d} t = \\ = V m \left(1 + \mathrm{e}^{-\pi \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \right)$

Entonces sin amortiguar $\zeta=0$ y $J=2 V m$ para un "rebote" perfecto y con amortiguación crítica $\zeta=1$ y $J=V m$ con una respuesta "plástica". Lo anterior se puede redefinir como un coeficiente de restitución $\epsilon$ con

ϵ = {mi}^{- π \frac{ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}}

$\epsilon = \mathrm{e}^{-\pi \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}$

La energía cinética es $E=\frac{1}{2} m \dot{x}^2$ y su valor en el $n$ -th medio ciclo de oscilación es

{mi}_{norte} = \frac{1}{2} metro V^{2} ϵ^{2 norte}

$E_n = \frac{1}{2} m V^2 \epsilon ^ {2 n}$ y como el coeficiente de restitución es

0 \leq ϵ \leq 1

$0 \leq \epsilon \leq 1$ entonces

E_{n} \leq E_{0} = \frac{1}{2} m V^{2}

$E_n \leq E_0=\frac{1}{2}m V^2$

¡Eres estrella, gracias! Eso se ve bastante bien. Sólo tengo dos preguntas. En primer lugar, ¿puedo encontrar la solución a la integral? $J = \int_0^\frac{\pi}{\omega} kx + d\dot{x} dt$ - en algún lugar como un control de cordura o lo calculó usted mismo? En segundo lugar, si la ecuación - $F = kx + d\dot{x}$ - no incluir el componente de gravedad?
La parte de amortiguación se simplifica a cero. $d \int \dot{X} d t = d \int_{0}^{\frac{π}{ω}} \frac{d}{d t} X Exp (- β t) pecado (ω t) d t = 0$ $d \int \dot{x}\,\mathrm{d}t = d \int \limits_0^{\frac{\pi}{\omega}} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t} X \exp(-\beta t) \sin( \omega t ) \,\mathrm{d} t = 0$
Y la parte de la rigidez da $k \int X d t = k \int_{0}^{\frac{π}{ω}} X Exp (- β t) pecado (ω t) d t = \frac{k X ω}{β^{2} + ω^{2}} (1 + {mi}^{- π \frac{β}{ω}})$ $k \int x \, \mathrm{d} t = k \int \limits_0^{\frac{\pi}{\omega}} X \exp(-\beta t)\sin(\omega t)\,\mathrm{d}t = \frac{k X \omega}{\beta^2+\omega^2} \left(1+\mathrm{e}^{-\pi \frac{\beta}{\omega}}\right)$
Un pequeño ajuste: la "posición de equilibrio" para la oscilación es la posición en la que la fuerza del resorte se opondría a la fuerza de la gravedad; excepto que como se trata de una cuerda, solo puede tirar, no empujar. La ecuación de movimiento es la misma para el tiempo que la cuerda está tensa, pero hay un término de fuerza adicional que desplaza ligeramente la posición de equilibrio. De lo contrario, este es el análisis que estaba insinuando pero no tuve tiempo de escribirlo, así que te felicito (y te voté) por hacerlo.

floris · Answer 2

floris

Me parece que estás haciendo esto más complicado de lo que debe ser. Cuando el cable se tensa por primera vez, la fuerza del resorte aún no está en juego y la única fuerza será $v\cdot k$ - por la definición del arrastre en el dash pot. Puede calcular el movimiento posterior resolviendo el oscilador armónico amortiguado.

Déjame saber si esto es suficiente?

Jennifer

No, no creo que sea correcto @Floris. La fricción interna solo comenzará a absorber energía a medida que el cable se alargue. El cable comenzará simultáneamente a absorber energía como energía elástica/de tensión debido al resorte.

E_{s} = \frac{1}{2} k x^{2}

$E_s = \frac{1}{2}kx^2$ , y el sistema también ganará energía potencial (transferida de la energía cinética inicial, por supuesto) debido al posterior aumento de altura.

Jennifer

En última instancia, la fuerza de impulso dependerá tanto del amortiguador viscoso como del resorte, y las contribuciones de cada componente varían con el tiempo (la contribución del amortiguador será máxima en

t = 0 +

$t = 0+$ , con

F_{d} = b v_{1 +}

$F_d = bv_{1+}$ , mientras que la contribución del resorte será máxima cuando la masa se detenga en

t = t

$t = t$ , con

F_{k} = k x

$F_k = kx$ . Lo que me gustaría, idealmente, es alguna forma de estimar la energía disipada por el amortiguador a medida que la masa se desacelera. Luego quitaré esa cantidad de energía del sistema para estimar la distancia

x

$x$ que el cable se estira, y use eso para estimar la fuerza de impulso promedio.

floris

Bien, entonces está buscando la altura máxima alcanzada y una estimación de la fuerza promedio a medida que la masa se desacelera. Y cree que el desplazamiento es suficiente para que la influencia de la gravedad no se pueda ignorar durante esa desaceleración. ¿Bien?

Jennifer

Sí exactamente. Hice un cálculo aproximado con y sin la energía potencial, aunque descuidé la amortiguación, y tuvo un efecto bastante significativo en la fuerza de impulso. Alrededor del 30-35%, aunque eso definitivamente disminuirá si puedo incluir una estimación de la amortiguación de alguna manera.

Estimación de la energía disipada por un amortiguador/amortiguador

Jennifer

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Gert

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Practique la pregunta del examen AP Physics B sobre el impulso [cerrado]

¿Es correcto decir esto con respecto a la tercera ley del movimiento de Newton?

¿Por qué surge esta ambigüedad? [duplicar]

¿Por qué necesitamos la cantidad de impulso?

Derivación del componente 000 de 4-momentum utilizando el Lagrangiano relativista

Fuerza neta vs trabajo neto

Una hipótesis basada en el principio de conservación del momento

¿Qué es exactamente la fuerza? ¿Cuál es su fuente u origen?

Fuerzas externas en la conservación del momento

¿Por qué la fuerza, el momento y la energía cinética son derivados entre sí? [cerrado]