Ecuaciones de Lagrange-Euler para una cuenta que se mueve sobre un anillo

Creo que tienes mal la geometría. Necesita configurar la velocidad en tres dimensiones:$\dot{\bf x} = (\dot x,\dot y,\dot z)$. Entonces$\dot{\bf x}^2 = \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2$. Convertir eso en coordenadas esféricas$(r, \theta, \phi)$, con$\theta$como el ángulo hacia abajo desde el eje z hacia el plano xy, y$\phi$$ como el ángulo alrededor del eje z, comenzando desde el eje x.

El eje z pasa a través de un diámetro del anillo y el anillo gira alrededor del eje z.$\omega = \mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t$; el$\omega^2\sin^2 \theta$término proviene de la rotación del aro, y el$\dot\theta^2$término proviene del movimiento de la partícula a lo largo del aro. Después de introducir las definiciones de$(r, \theta, \phi)$en términos de$(x, y, z)$y aplicar la restricción de que$a^2 = x^2 + y^2 + z^2$, el resto es álgebra. La mayoría de los términos se cancelan y/o simplifican hasta esos dos términos.

No estoy seguro de dónde está ese factor de$sin^2 \theta$proviene de la energía cinética. Si$\omega$es la velocidad angular del anillo, entonces debería ser:

Esto es porque$x=a cos(\theta +\omega t)$y$y=a sin(\theta +\omega t)$, que se puede encontrar usando alguna geometría simple. Cuando tomas la derivada del tiempo obtienes:

Entonces:

El$\sin(\theta)$viene teniendo en cuenta la energía cinética de rotación de la masa. Entonces, tomando$\theta$Como se origina en la parte inferior del bucle, si la masa cuelga allí, tendrá cero energía cinética de rotación. En$\theta=\pi$, la masa tendrá la máxima energía cinética de rotación posible.