Tengo una pregunta sobre la función de Green. en el toro que toma la forma (por ejemplo, la primera ecuación en el documento https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v172-n2-p03-p.pdf )
Cuando ambos "espacio" ( ) y tiempo" ( ) las direcciones son periódicas, el laplaciano en toro con coordenada tiene un modo cero normalizado
Como
Observa eso
La función de Green modificada se puede utilizar para resolver
Esto es consistente con la alternativa de Fredholm para operadores lineales.
El término constante es necesario porque en una variedad compacta con condiciones de contorno periódicas hay un modo cero en el espectro del laplaciano. Esto es más fácil de ver en el círculo, donde tiene la solución constante periódica . Esto hace que el operador no sea invertible.
En cambio, se debe trabajar en el espacio ortogonal a los modos cero. Veamos la descomposición espectral de la función de Green:
Ahora ves en la expresión de la función de Green por qué sería problemático. Eliminamos esto de la suma para trabajar en el subespacio ortogonal a esta función, obteniendo
La otra forma de verlo es pensar en términos de electrostática. En una variedad compacta, la periodicidad es inconsistente con la función de Green que representa la respuesta a una carga puntual colocada en algún punto:
qmecanico