Teorema de Haag y cálculos prácticos de QFT

cada teorema es tan poderoso como sus supuestos (y proposiciones). Las respuestas son claramente que

1. La fórmula LSZ siempre funciona para las teorías de campo donde se usa.
2. Ningún cálculo real relevante para la física falla debido al teorema de Haag. El teorema de Haag es solo una filosofía.

El teorema de Haag es moralmente erróneo porque estudia la cuestión de si los operadores en la teoría interactiva son "estrictamente" unitariamente equivalentes a los de la teoría libre:

En particular, la suma de las interacciones también modifica las relaciones de conmutación entre los campos que "directamente" crean y aniquilan las partículas, al menos los campos efectivos de baja energía. Por ejemplo, los efectos cuánticos producen lagrangianos efectivos que contienen términos derivados superiores, incluidos nuevos términos con derivados temporales, y estos últimos modifican los momentos canónicos y/o las relaciones canónicas de conmutación. Cuando uno es riguroso, muchas cosas cambian cuando se suman las interacciones. Haag solo asumió que "algunas" cosas cambian, por lo que sus resultados son intrascendentes para la física.

En cualquier caso, este teorema de 1955 es obsoleto, al igual que la mayor parte de la disciplina anterior que solía conocerse como teoría algebraica de campos cuánticos o teoría axiomática de campos, y asegúrese de que existen teorías de campos cuánticos que interactúan: la red QCD es un ejemplo de un campo específico. cómo definirlos, y es igualmente cierto que la aproximación perturbativa de todas las amplitudes físicas puede calcularse mediante los métodos perturbativos habituales, con la filosofía adicional y los refinamientos rigurosos proporcionados, por ejemplo, por el formalismo LSZ que mencionó.

El teorema de Haag se inventó como un intento de demostrar que había algo mal con uno de los primeros diagramas de bucle que la gente entendió: el gráfico de polarización del vacío. Al señor Haag no le gustaban. Sin embargo, no hay nada malo con el diagrama de bucle, o cualquier otro diagrama de bucle que se convirtió en la mayor parte del conocimiento sobre la física de partículas en las décadas posteriores. Los desarrollos en la renormalización mostraron que los cálculos, incluidos los bucles, son totalmente válidos. El grupo de renormalización hizo algunos progresos adicionales: explicó por qué las teorías son universales y por qué funciona la resta de infinitos. El teorema de Haag se volvió engañoso y obsoleto en la década de 1970.

En particular, el formalismo LSZ utiliza la "hipótesis adiabática", la suposición de que uno puede ignorar las interacciones entre las partículas en el pasado asintóticamente distante. Al activar lenta y continuamente la constante de acoplamiento, podemos mapear los estados de las partículas libres a los estados que describen las partículas en el espacio de Hilbert que interactúa. Esto es posible siempre que todas las distancias entre las partículas sean grandes. Sin embargo, este procedimiento no funcionaría para configuraciones generales de partículas cercanas, por lo que no se puede promover este truco en una equivalencia unitaria "canónica" completa entre los espacios de Hilbert libres e interactivos. Claramente, no existe tal isomorfismo "natural" o "único" o "canónico" porque las teorías libres e interactivas no son físicamente equivalentes. Cuando se entiende racionalmente, el teorema de Haag no dice nada más que esta proposición evidente. Sin embargo, dicho isomorfismo no es necesario para calcular cantidades físicamente significativas, como las amplitudes de dispersión.

Al menos desde el punto de vista de la física como ciencia empírica, debería quedar claro que los cálculos reales en QFT son buena ciencia, una que ha hecho predicciones y ha pasado pruebas que comparan las predicciones con experimentos, mientras que el teorema de Haag no lo es porque no lo ha hecho. t predijo cualquier cosa que haya pasado las pruebas empíricas. El teorema de Haag trata de encontrar problemas con el hecho de que la teoría cuántica de campos contiene nuevos efectos como la renormalización que no aparecen en la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad. Sin embargo, estos efectos adicionales de la teoría cuántica de campos son reales y esenciales y no conducen a inconsistencias.

El teorema de Haag no es una herramienta para hacer física de partículas; es una excusa para alguien que no quiere estudiar física de partículas. Como todo teorema, dice "A implica B". Debido a que sabemos que B es incorrecto, la QFT perturbativa claramente funciona, se deduce que las suposiciones A no son correctas.

Un comentario sobre lo que escribió Lubos (parece que necesito más reputación para publicar comentarios :-)

Todavía hay personas que viven y están investigando en AQFT, por lo que tal vez AQFT esté obsoleto para algunos de nosotros, pero no está muerto.

Todavía no tenemos una comprensión completa matemáticamente rigurosa de QFT. Pero todos pueden ignorar esto, por supuesto, y usar las herramientas computacionales de QFT que han demostrado su valor. El teorema de Haag nos dice que simplemente no sabemos por qué las herramientas computacionales de la QFT perturbativa funcionan tan bien, pero en lo que respecta a los cálculos concretos, siempre que obtenga los números correctos, esto no tiene por qué preocuparle. Por lo tanto, no encontrará ningún cálculo que no haya funcionado debido al teorema de Haag.

Sin embargo, cualquier construcción rigurosa de un QFT 4D interactivo tendrá que evitar el teorema de Haag de una forma u otra. Pero si vale la pena el esfuerzo de investigar en esta dirección, el esfuerzo es, por supuesto, una cuestión de discreción.

Mucho se ha dicho... pero creo que hay una grieta que puedo tocar.

Referencias

En primer lugar, permítanme enumerar algunas de las referencias relevantes para este tema: de esta manera podemos establecer la base de la discusión y estar de acuerdo en un cierto "tema común de conocimiento" (entiendo que puede haber disenso y desacuerdo sobre la elección dada a continuación, pero creo que la relevancia histórica de las obras es evidente: esta lista no es exhaustiva, y no pretendo faltar el respeto a las obras que puedo haber olvidado enumerar). Allí va,

1. PCT, Spin and Statistics, y todo eso ;
2. Física Cuántica Local: Campos, Partículas, Álgebras (Física Teórica y Matemática) ;
3. Teoría Matemática de Campos Cuánticos (Serie Internacional de Monografías sobre Física) ;
4. electrodinámica cuántica finita ;
5. Electrodinámica Cuántica Perturbativa y Teoría Axiomática de Campos (Física Teórica y Matemática) ;
6. Teoría de Campos Cuánticos I: Fundamentos de Matemáticas y Física: Un Puente entre Matemáticos y Físicos (v. 1) , y Teoría de Campos Cuánticos II: Electrodinámica Cuántica: Un Puente entre Matemáticos y Físicos ;
7. Teoría Cuántica de Campos (Estudios Matemáticos y Monografías) ;
8. Aspectos Matemáticos de la Teoría Cuántica de Campos (Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas) ;
9. Teoría cuántica de campos para matemáticos (Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones) ;
10. Teoría matemática de las integrales de ruta de Feynman: una introducción (Notas de clase de matemáticas) y Cálculo de ruido blanco y espacio de Fock (Notas de clase de matemáticas) .

Comentarios

Con eso fuera del camino, permítanme hacer algunos comentarios. Con un poco de suerte no me desviaré demasiado hasta el punto de perder el camino original…

1. Históricamente, hubo dos movimientos con nombres separados: Teoría cuántica de campos axiomática (o algebraica ) y Teoría cuántica de campos constructiva . Mientras que el primero está marcado por la referencia (1) anterior, el último se resume en Física cuántica: un punto de vista integral funcional. Ambos enfrentaron obstáculos similares durante su época: la primera encarnación de los Axiomas de Wightman no permitía la ruptura [espontánea] de la simetría (un hecho corregido más tarde por Ray Streater); mientras que el libro de Glimm & Jaffe todavía insiste en que una integral de ruta [Feynman] está asociada a una teoría cuántica única (algo que sabemos que no es cierto en función de la dependencia de la integral de ruta en sus parámetros (también conocido como constantes de acoplamiento): diferentes conjuntos de parámetros producen QFT distintas). De hecho, esta es la razón por la que no mezclé estos temas (QFT algebraicos y constructivos) en la lista de referencias anterior.

2. El teorema de Haag (y también el teorema de Haag-Kastler), históricamente, pertenece al campo de la QFT algebraica/axiomática . Pero, más tarde, con los desarrollos adicionales liderados por Haag y sus seguidores , este campo evolucionó naturalmente hacia lo que actualmente se conoce como Física Cuántica Local .

3. Hay formas de definir rigurosamente las QFT euclidianas en la red y luego tomar su límite continuo (termodinámico). Pero, por supuesto, no puedo recordar (o recuperar de mis archivos) la referencia. IIRC, era un grupo de la Universidad de Boston… pero, más importante, sé quién podrá recordar esto: Pedro (lqpman ;-). En cualquier caso, B. Simon tiene un montón de trabajo realizado en esta área (es decir,$P(\phi)_2$QFT euclidiana y su relación con la mecánica estadística), y no es difícil convencerse de que las QFT rigurosas se pueden definir adecuadamente (de diferentes maneras, utilizando diferentes técnicas).

4. Hay varias formas de pensar en una QFT (o Teoría de calibre, como desee) y, como tal, formularla en una variedad de formas rigurosas. Permítanme presentar uno que creo que es algo intuitivo y más directo. En cada 'escenario de la vida real' tiene una energía máxima disponible, es decir, un corte UV (llámelo$\Lambda$). Con esta simple realización, puede comenzar a construir sus ingredientes de manera más rigurosa: coloque su QFT en una red donde el espacio está dado por$a = 1/\Lambda$. Lo que digo es que, en la 'vida real', siempre estamos lidiando con una Teoría del Campo Efectivo de una forma u otra, y esto no es del todo malo, porque podemos usar su escala UV para construir una red donde vamos a definir nuestra teoría. Esta es una forma de hacerlo... otra forma es usar esta realización de un corte UV, pero en lugar de usarlo para definir un QFT enrejado, podemos usarlo para definir un álgebra de operador de vértice . La conclusión, en ambos casos, es que estamos lidiando con el problema de multiplicar distribuciones (también conocidas como funciones generalizadas) definiendo alguna forma de OPE: lo que hacen las celosías y los VOA es definir la "división de puntos" particular que "le gusta" a su teoría (es decir, que hace que su teoría "se comporte bien"). Entonces, lo que está haciendo efectivamente (perdón por el juego de palabras) es definir su QFT a través de una opción particular de "división de puntos" (OPE), ya sea con la ayuda de una red, ya sea a través de VOA. Al final del día, sin embargo, lo que importa es que, de alguna manera, "discretizaste" tu teoría... y, como tal, puedes lidiar con ella y eludir el teorema de Haag (que solo es válido en el límite termodinámico/continuo). Esto es lo que hay detrás de las cortinas.

5. En cierto sentido, esta misma discusión podría hacerse con respecto a los modelos Mecánicos Estadísticos, por ejemplo, el Modelo de Potts, que está completamente determinado por su Matriz de Transferencia (análoga a la$S$Matriz en QFT). Sin embargo, cuando tratas de tomar este continuo/límite termodinámico... las cosas se complican muy rápido. Por supuesto, este es un punto 'técnico', un 'detalle matemático', y así sucesivamente... pero, pensé que este era el objetivo de esta pregunta... si me equivoco, por todos los medios, ignore estos 'pequeños detalles'. picky'-puntos míos. En cualquier caso, es debido a este límite de infinitos grados de libertad que QFT es más que una mera "teoría de la matriz S" o extensiones ingenuas de la mecánica cuántica: como dice el refrán, más es diferente . ;-)

De todos modos, esto se está haciendo largo y se está haciendo tarde (es decir, me está entrando hambre ;-)… y mi punto no era dar una respuesta escolástica, sino enmarcar esta discusión en su camino apropiado. Espero que esto ayude un poco.

Las dos preguntas originales merecen respuestas breves y claras. En orden inverso:

2) "Un ejemplo de un cálculo que falla debido al Teorema de Haag". La teoría de la perturbación ingenua tiene que fallar debido al teorema de Haag. Y lo hace: cuando calculas los coeficientes, en su mayoría son infinitos.

1) "¿Por qué funcionan los cálculos QFT, a pesar del teorema de Haag?" Porque los cálculos QFT reales no se realizan en la imagen de interacción . Lattice QFT, como se ha señalado, no utiliza la imagen de interacción en absoluto. Asimismo, el formalismo LSZ no utiliza la imagen de interacción. Lo único para lo que se usa la imagen de interacción es para motivar un ansatz para la serie de perturbaciones renormalizadas. Pero cuando cambias a la teoría de la perturbación renormalizada, en realidad estás abandonando la imagen de la interacción, porque renormalizas las intensidades de campo.

Lubosh escribió: "... QFT perturbativo claramente funciona...". No, falla estrepitosamente en la aproximación inicial (partículas "desnudas", no se prevé radiación suave) y en el curso de la búsqueda de soluciones por iteraciones (correcciones infinitas a la aproximación inicial). ¡Por eso hay tantas preguntas!

Lo que es comparable con los datos experimentales es un resultado renormalizado y resumido por IR (una "solución reparada") que es bastante diferente de la solución original. E incluso después de eso, existen dificultades conceptuales y matemáticas en la teoría. Además, existen teorías no renormalizables en las que los intentos de "reparar soluciones sobre la marcha" fracasan irremediablemente.

QFT, como invención humana, adolece de graves problemas. Está muy lejos de un estado deseado y necesita reparación. Algunas veces las renormalizaciones "funcionan", pero no siempre, y estamos lejos de la afirmación " QFT no tiene ningún problema ". Deberíamos probar otras construcciones. No estoy de acuerdo con la afirmación de Lubosh de que "esto no es posible", especialmente si con la ayuda de las renormalizaciones y la suma de la contribución de IR nos alejamos de la aproximación incorrecta inicial y obtenemos resultados razonables. Creo que podemos partir de una mejor aproximación inicial, eliminar esos problemas y llegar directamente a los resultados finales. Negar tales oportunidades no es sabio, por decir lo menos.

El teorema de Haag y su presente discusión toca la diferencia entre las matemáticas y la física. Mientras que las matemáticas se basan en axiomas y consisten en teoremas, se supone que la física explica nuestras experiencias dentro de un conjunto restringido de matemáticas. Según esta separación, el teorema de Haag pertenece a las matemáticas.

La razón es que las matemáticas de la física son en principio discretas, finitas. ¿Alguna vez has medido algo que es infinito? ¿Ha conocido leyes físicas que se aplican en todas las escalas para dar la oportunidad de que aparezcan infinitos? El formalismo ingenuo de la teoría cuántica de campos, proyectado en un espacio-tiempo continuo, conduce a infinitos solo si extrapolamos las leyes físicas observadas a distancias infinitamente cortas. El remedio de este problema es bien conocido: las leyes físicas se aplican sólo dentro del rango donde se observan. Para ser más elegantes, se utilizan en un rango más amplio y este ensanchamiento está controlado por los cortes de corta y larga distancia, reflejo de nuestra ignorancia.

La convergencia y el límite son conceptos matemáticos y se utilizan en física en el procedimiento para mantener los puntos de corte fuera del camino y ocultar las escalas distantes resultantes en nuestras ecuaciones. La convergencia de eliminar el corte de corta distancia, la renormalizabilidad es una conveniencia más que una necesidad en física, por ejemplo, los sectores libres no asintóticamente de los modelos estándar son presumiblemente triviales y no renormalizables, se supone que el espacio-tiempo muestra una estructura granulada hasta escala de Planck.

Lo que se necesita en física es una teoría del campo cuántico regulado que proporcione una plataforma matemáticamente bien definida y libre de contradicciones para estudiar los fenómenos observados con un rango flexible de cortes. Tenemos eso, por ejemplo, la teoría del campo reticular.

La teoría axiomática y constructiva del campo y el teorema de Haag en particular tienen un papel muy importante que desempeñar en la física: llaman la atención sobre el límite preciso de las ciencias físicas dentro del vasto conjunto de hermosos conceptos matemáticos.