¿Qué áreas de la física debe estudiar un matemático para comprender TQFT?

Cuando Atiyah escribió sus axiomas para un TQFT, se inspiró en axiomas similares que se le ocurrieron a Segal para describir los CFT bidimensionales. Se da una buena explicación de la motivación física desde el punto de vista axiomático en las conferencias de Segal (él está hablando de axiomas para QFT pero reconocerá partes de los axiomas para TQFT), pero también puede echar un vistazo al artículo original de Atiyah . Otra buena referencia es la Prehistoria de la física n-categórica de Báez o la dirección ICM de Witten .

Las teorías topológicas de campos cuánticos son, de hecho, ejemplos de teorías cuánticas de campos. Su característica común es, aproximadamente, que la "evolución del tiempo" solo depende de los cambios en la topología. Corresponde al axioma$Z(M \times [0,1]) = id_{Z(M)}$. Un físico expresaría esto como "el hamiltoniano se desvanece".

La razón por la que el funtor suele llamarse$Z$es porque debería recordarle "Zustandssumme", el término alemán para la función de partición. Cuando un físico quiere estudiar un problema de física estadística o teoría cuántica de campos (ambos están relacionados), a menudo comienza escribiendo una función de partición (también llamada funcional/Feynman/Pathintegral en este contexto)

dónde$C(M)$es un espacio de "campos" en una variedad fija$M$. Puede pensar en los axiomas como propiedades que debería tener una función de partición razonable. El lenguaje común de CFT/QFT/TQFT es el lenguaje de esas integrales funcionales.

Para entender esto desde una perspectiva física, al menos deberías entender algo de mecánica cuántica. No estoy seguro de qué buenos libros hay para los matemáticos, pero creo que ha habido una pregunta en mathoverflow al respecto. Luego está, por supuesto, el conjunto de dos volúmenes "Quantum Fields and Strings: Un curso para matemáticos". Las notas a partir de las cuales se hicieron los libros todavía se pueden encontrar en línea en el sitio web de ias.

Puede comenzar con la electrodinámica masiva de Chern-Simons. Esta es la electrodinámica 3D (una teoría muy física) con el Lagrangiano:

El límite topológico es$g\rightarrow\infty$(elimine el término cinético habitual). La teoría de Chern-Simons de Witten, la teoría del polinomio de Jones, es la generalización natural no abeliana, nuevamente en el límite$g\rightarrow\infty$. Esta es la versión natural regulada, y debería estar mejor definida matemáticamente que la versión topológica no regulada.

La versión topológica es singular, porque el flujo a través de un nudo depende del tipo de nudo y es discontinuo cuando el nudo se mueve para cruzarse a sí mismo y convertirse en un nudo diferente. El término cinético en lo anterior redondea la singularidad y hace que los reguladores puedan definir físicamente la teoría. Como está en 3d, debería tener una versión rigurosa también, aunque desconozco el trabajo realizado al respecto.

Un libro que me gustó fue "Teoría del campo cuántico en pocas palabras" de Zee. Está escrito de una manera bastante informal (bueno, de todos modos para un libro de texto) y se supone que sabes una buena cantidad de matemáticas. Tampoco es un libro cuántico de nivel introductorio, y se supone que ha tenido al menos un curso de mecánica cuántica antes: notación bra-ket y demás.