¿Por qué necesitamos la fase de Condon-Shortley en armónicos esféricos?

No lo necesita : es una convención de signos y lo único que debe hacer con ella es ser coherente. (En particular, esto significa verificar siempre que las convenciones de signos y normalización para$Y_{lm}$y$P_l^m$acepte todas las fuentes que está utilizando y tenga en cuenta correctamente cualquier diferencia allí).

La convención de signos de Condon-Shortley está diseñada para que los armónicos esféricos funcionen bien con los operadores de escalera de momento angular: en particular, le permiten escribir

$$\begin{align} Y_l^m(\theta,\varphi) & = A_{lm} \hat{L}_-^{l-m} Y_l^l(\theta,\varphi), \quad \text{and} \\ Y_l^m(\theta,\varphi) & = A_{l,-m} \hat{L}_+^{l+m} Y_l^{-l}(\theta, \varphi), \end{align}$$ donde el $A_{lm}=\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!(l+m)!}}$son todas constantes positivas . Esto viene de Aarfken, 6th ed (2005), Eq. (12.162) pág. 794, y utiliza las convenciones $$\begin{align} Y_l^m(\theta,\varphi) & = (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos(\theta)) e^{im\varphi}, \text{ for} \\ P_n^m(\cos(\theta)) & = \frac{1}{2^n n!}(1-x^2)^{m/2} \frac{\mathrm d^{m+n}}{\mathrm d x^{m+n}}(x^2-1)^n ,\text{ and with}\\ L_\pm & = L_x\pm i L_y = \pm e^{i\varphi}\left[\frac{\partial}{\partial \theta} \pm i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial \varphi} \right] . \end{align}$$ Ignorar la fase de Condon-Shortley introduciría signos en el $A_{lm}$, que puede verse como (vagamente) indeseable: desea las constantes incómodas en el lado complicado de funciones especiales, que siempre es incómodo para empezar, y no en el lado del espacio de Hilbert donde las relaciones limpias entre funciones de onda y vectores son mucho más valioso.