Degeneración de funciones propias de armónicos esféricos

Question

Degeneración de funciones propias de armónicos esféricos

Djamillah

Estoy trabajando en la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths (2da edición) y estoy tratando de resolver el problema 4.24 b. En este problema, se supone que primero debes encontrar las funciones propias normalizadas a las energías permitidas de un rotador rígido, que me di cuenta correctamente que deberían ser armónicos esféricos. Entonces, usted debe encontrar la degeneración de la $n^\text{th}$ nivel de energía y no sé cómo hacer esto. La respuesta correcta dice $2n+1$ pero nunca explican cómo encontraron esta respuesta y para mí se siente como si la sacaran de la nada, pero tal vez aún no sepa lo suficiente sobre números cuánticos. Agradecería mucho si alguien pudiera explicar cómo funcionan las degeneraciones para los armónicos esféricos como funciones propias para el $L^2$ operador.

joshfísica

¿Conoce la definición de la degeneración de un valor propio de un operador lineal?

Sofía

@Djamillah No conozco ese libro de Griffiths y vi muchas quejas al respecto. Pero, los armónicos esféricos son funciones propias de dos operadores,

L^{2}

$L^2$ , y

L_{z}

$L_z$ . Estas funciones se denotan como

Y_{l}^{m} (θ, ϕ)

$Y_l^m (\theta, \phi)$ , y para cada valor

l

$l$ hay

2 l + 1

$2l + 1$ valores de

m

$m$ , es decir

m = l, l - 1, . . ., 0, . . . - (l - 1), - l

$m = l, l-1,..., 0,... -(l-1), -l$ . Puedes ver todo esto en la Wikipedia, en.wikipedia.org/wiki/… . Pero, la notación típica para los armónicos esféricos usa los índices

l

$l$ y

m

$m$ no hay

n

$n$ (que suele tener otro significado).

Sofía

(continuación) ¿Podría ser que Griffiths usó la notación

n

$n$ en lugar de

l

$l$ ? Déjame suponer que sí. Entonces, si tienes un sistema cuántico que muestra una energía diferente para cada valor de

l

$l$ , pero la energía no depende también de

m

$m$ , el nivel de energía

l

$l$ está degenerado. Es decir, le corresponde más de un solo estado, en nuestro caso

2 l + 1

$2l+1$ estados

m

$m$ se llama número magnético, porque para algunos sistemas un campo magnético puede dividir el nivel de energía

l

$l$ en

2 l + 1

$2l+1$ subniveles, un subnivel para cada valor de

m

$m$ .

DanielSank

@Sofia: comentario largo. ¿Por qué no una respuesta?

Respuestas (2)

Degeneración de funciones propias de armónicos esféricos

¿Conoce la definición de la degeneración de un valor propio de un operador lineal?
@Djamillah No conozco ese libro de Griffiths y vi muchas quejas al respecto. Pero, los armónicos esféricos son funciones propias de dos operadores, $L^2$ , y $L_z$ . Estas funciones se denotan como $Y_l^m (\theta, \phi)$ , y para cada valor $l$ hay $2l + 1$ valores de $m$ , es decir $m = l, l-1,..., 0,... -(l-1), -l$ . Puedes ver todo esto en la Wikipedia, en.wikipedia.org/wiki/… . Pero, la notación típica para los armónicos esféricos usa los índices $l$ y $m$ no hay $n$ (que suele tener otro significado).
(continuación) ¿Podría ser que Griffiths usó la notación $n$ en lugar de $l$ ? Déjame suponer que sí. Entonces, si tienes un sistema cuántico que muestra una energía diferente para cada valor de $l$ , pero la energía no depende también de $m$ , el nivel de energía $l$ está degenerado. Es decir, le corresponde más de un solo estado, en nuestro caso $2l+1$ estados $m$ se llama número magnético, porque para algunos sistemas un campo magnético puede dividir el nivel de energía $l$ en $2l+1$ subniveles, un subnivel para cada valor de $m$ .

Martín C. · Answer 1

No estoy seguro de por qué esto se envió a la página de la comunidad, ya que la respuesta relevante está contenida en fragmentos en los comentarios y la respuesta anteriores.

De todos modos, en resumen: @Sofia tiene razón. Griffiths usa una convención no estándar en esta pregunta, reemplazando $l$ con $n$ . 'Degeneración' solo significa que hay múltiples estados con la misma energía.

Explícitamente

Dado que el hamiltoniano para un rotor rígido de longitud $a$ con dos partículas de masa $m$ en cada extremo hay

$\hat{H} = \frac{\hat{L}^2}{ma^2}$ ,

y dado que los armónicos esféricos son las funciones propias de la $\hat{L}^2$ operador,

$\hat{L}^2Y^m_l(\theta,\phi) = \hbar^2 l(l+1)Y^m_l(\theta,\phi)$

(donde el $Y^m_l(\theta,\phi)$ son los armónicos esféricos) tenemos que los valores de energía (degenerados) son

$E_l = \frac{\hbar^2l(l+1)}{ma^2}$ .

Entonces, puramente debido a la definición de los armónicos esféricos (es decir, que hay $2l+1$ valores de $m$ por cada valor de $l$ ), podemos ver que la degeneración es $2l+1$ .

andres dynneson · Answer 2

Griffiths 2da edición Ecuación [4.118] y [4.119]:

L^{2} F_{ℓ}^{metro} = ℏ^{2} ℓ (ℓ + 1) F_{ℓ}^{metro}

$L^2 f_\ell ^m=\hbar ^2\ell (\ell+1)f_\ell ^m$

y

L_{z} F_{ℓ}^{metro} = ℏ metro F_{ℓ}^{metro}

$L_z f_\ell ^m=\hbar m f_\ell ^m$

dónde $\ell =0, 1/2, 1, 3/2, \ldots$ y $m=-\ell ,\ldots ,\ell$ .

Hay degeneraciones en el $L^2$ ya que el valor propio solo depende del $\ell$ índice.

Hay un total de $2\ell +1$ índices en el $m=-\ell ,\ldots ,\ell$ .

Sección 4.3 p.178, las funciones propias $f_\ell ^m$ mencionados aquí en estas dos ecuaciones son los armónicos esféricos $Y_\ell ^m$ .

La nota al pie 17 hace referencia a Schiff Quantum Mechanics para una derivación detallada de las soluciones de la ecuación de onda para el átomo de hidrógeno, sin embargo, esta debería ser la tercera edición de ese libro para la página 93.

Todavía estoy tratando de tener una idea de por qué las soluciones semienteras de $\ell$ a veces se descartan y otras no (planea preguntarle a un profesor). Creo que tiene algo que ver con Spin.

En el Ejercicio #4.24, por ejemplo (el problema del Rotor Rígido sin masa), Griffiths de hecho cambia el $\ell$ símbolo de índice para un $n$ .

Las soluciones semienteras para el momento angular orbital se eliminan porque, de lo contrario, la función de onda (parte esférica) no sería continua en el círculo (una rotación de $2\pi$ obtendría un signo menos de lo contrario).
Pensé un -1 de un $2\pi$ la rotación era algo que queríamos con una partícula de espín-1/2 como un electrón? (Quizás estoy confundiendo el momento orbital y el giro).
Los armónicos esféricos tienen la forma $f(\theta)e^{-i2\pi\cdot m}$ , $m$ siendo el $L_z$ valor propio Si es medio entero, la rotación de $2\pi$ traer de vuelta un signo menos.

Degeneración de funciones propias de armónicos esféricos

Djamillah

joshfísica

Sofía

Sofía

DanielSank

Respuestas (2)

Martín C.

andres dynneson

gentil

andres dynneson

gentil

¿Cómo calcular los estados de momento angular del oscilador armónico cuántico isotrópico?

Momento angular del sistema cuántico

Quantum introductorio, problemas con esta condición límite y potencial

Transformación unitaria del hamiltoniano con acoplamiento spin-orbital

Conjugado hermitiano del operador diferencial

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

¿Valor esperado del hamiltoniano?

¿Cómo probar dp/dt = -dV/dx? Mecánica cuántica [cerrado]

Segunda cuantización y diagonalización hamiltoniana.

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?