¿De dónde viene la expresión ⟨q∣p⟩=1(2πℏ)n/2eiq⋅p/ℏ⟨q∣p⟩=1(2πℏ)n/2eiq⋅p/ℏ\langle q \mid p\rangle=\frac{ 1}{(2\pi\hbar)^{n/2}}e^{iq\cdot p/\hbar} viene? [duplicar]

Puede verlo a partir de la noción de transformación de Fourier. Por ejemplo, podría expresar un estado cuántico arbitrario de su espacio de Hilbert en representación de momento aplicando una transformación de Fourier en su representación de posición. Más explícitamente, por$\left|\psi\right>\in\mathcal{H}$, podrías definir

$$\left< \mathbf{q} |\psi\right> = \mathcal{F}^{-1} \left[\left< \mathbf{p} |\psi\right>\right] = \frac{1}{\mathcal{N}_F} \int_{\mathbb{R}^n}\left< \mathbf{p} |\psi\right> e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}/\hbar} \text{d}p^n \hspace{2cm}(1)$$

Ahora estamos casi allí. Puede aprovechar el hecho de que la posición y el impulso cumplen las relaciones de completitud. Por ejemplo, podrías tener

$$\int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathbf{p} \right> \left< \mathbf{p}\right| \text{d}p^n = \mathcal{N}_p$$

Insertando esto en el lado izquierdo de la ecuación (1) da

$$\left< \mathbf{q} |\psi\right> = \frac{1}{ \mathcal{N}_p} \int_{\mathbb{R}^n} \left< \mathbf{q} |\mathbf{p} \right> \left< \mathbf{p}|\psi\right> \text{d}p^n$$

Identificar esto con el lado derecho de la ecuación (1) conduce a la relación deseada

$$\left< \mathbf{q} |\mathbf{p} \right> = \frac{\mathcal{N}_p} {\mathcal{N}_F} e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}/\hbar}$$

las normalizaciones$\mathcal{N}_i$dependen de convenciones sin consenso general. Y por cierto, también puedes recuperar tu representación de la función delta (que es inherente a la noción de transformación de Fourier).

EDITAR: para elaborar un poco más la conexión con la función delta. Podrías interpretar$\delta$como una actuación funcional en su espacio de Hilbert. En otras palabras, usted define que

$$\left< \mathbf{q} |\psi\right> = \int_{\mathbb{R}^n} \delta^{(n)}(\mathbf{x}-\mathbf{q})\psi(x) \text{d}x^n$$

dónde$\psi$podría ser elemento de$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$, Por ejemplo. Entonces para$\psi,\phi\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$usas la definición estándar de un producto escalar en este espacio

$$\left< \phi |\psi\right> = \int_{\mathbb{R}^n} \phi^\ast(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}) \text{d}x^n = \int_{\mathbb{R}^n} \left< \phi|\mathbf{x}\right>\left< \mathbf{x} |\psi\right>$$ y ves que obtenemos la relación de completitud

$$\int_{\mathbb{R}^n} \left|\mathbf{x} \right> \left< \mathbf{x}\right| \text{d}x^n = 1$$

Y para cerrar el círculo ahora, puede expandir (en la base de la posición)

$$\left< \mathbf{x} |\psi\right> = \int_{\mathbb{R}^n} \left< \mathbf{x}|\mathbf{y} \right> \left< \mathbf{y}| \psi\right> \text{d}y^n$$

Entonces te identificas

$$\left< \mathbf{x}|\mathbf{y} \right> = \delta^{(n)} (\mathbf{x}-\mathbf{y})$$

Espero que esto ilustre un poco cuán fundamental es la aparición de esta función delta. No es una coincidencia :)