Operador de posición en base esférica

Question

Operador de posición en base esférica

Física
operadores
cálculo tensorial
mecánica cuántica
sistemas coordinados
armónicos esféricos

usuario101311

En un conjunto de notas establece que podemos definir vectores de base esférica en términos de vectores de base cartesiana $\hat{x}, \hat{y}$ y $\hat{z}$ por

{\hat{mi}}_{\pm 1} := \mp \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{X} \pm i \hat{y}) y \hat{{mi}_{0}} = \hat{z} (*)

$\hat{e}_{\pm 1} := \mp \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} \pm i \hat{y})~~\text{and}~~\hat{e_{0}} = \hat{z}~~~~~~~~~~~~~~(*)$

En términos de los componentes de un vector $\mathbf{A} = A_x \hat{x} + A_{y}\hat{y} + A_{z}\hat{z}$ tenemos

{\hat{A}}_{\pm 1} := \mp \frac{1}{\sqrt{2}} (A_{X} \pm i A_{y}) y A_{0} = A_{z} (* *)

$\hat{A}_{\pm 1} := \mp \frac{1}{\sqrt{2}}(A_x \pm i A_y)~~\text{and}~~A_{0} = A_z~~~~~~~~(**)$

Luego establece lo siguiente con respecto a los componentes del vector de posición: "los componentes del vector de posición $\mathbf{r}$ puede ser escrito

r_{\pm 1} = \mp \frac{r}{\sqrt{2}} pecado θ {mi}^{\pm i ϕ} y r_{0} = r porque θ (operador de posición en base esférica)

$r_{\pm 1} = \mp \frac{r}{\sqrt{2}} \sin \theta e^{\pm i \phi}~~~\text{and}~~~r_0 = r \cos \theta~~~~\text{(position operator in spherical basis)}$ o más compacto

r_{q} = r \sqrt{\frac{4 π}{3}} Y_{1}^{q} (θ, ϕ) (operador de posición como armónicos esféricos) "

$r_{q} = r \sqrt{\frac{4 \pi}{3}}Y_{1}^{q}(\theta, \phi)~~~(\text{position operator as spherical harmonics})"$

Pregunta: Entonces está claro que $r_q$ se obtiene de $(**)$ usando sustitución de coordenadas esféricas

X = r s i norte θ C o s ϕ, y = r pecado θ pecado ϕ, z = r porque θ

$x = r sin \theta cos \phi,~~~y = r \sin \theta \sin \phi,~~~z = r \cos \theta$ ¿Cuál es la razón para escribirlo de esta forma y cómo se relaciona con el operador de posición en base esférica como se indica entre paréntesis?

Respuestas (1)

Operador de posición en base esférica

caverna · Answer 1

Imagina un cargo $q$ junto con un campo eléctrico clásico, la transición entre estados $|i \rangle$ y $| f \rangle$ en la aproximación del dipolo es proporcional a

{pag}_{i F} \sim ⟨ i | q r | F ⟩ = q ⟨ i | r | F ⟩

$p_{if} \sim \langle i | q{\bf r} | f\rangle = q\langle i | {\bf r} | f\rangle$

Si piensas en los dos $|f\rangle$ y $| i \rangle$ como estados ligados de, digamos, el átomo de hidrógeno, puede obtener las reglas de selección que gobiernan la transición entre los niveles de energía cuando el átomo se acopla con la luz.

No voy a darte toda la matemática, pero eso da como resultado el famoso $\Delta l = \pm 1$ y $\Delta m = 0, \pm 1$

Operador de posición en base esférica

usuario101311

Respuestas (1)

caverna

Invariancia de las relaciones del conmutador bajo cambio de base

Operador hamiltoniano en coordenadas polares con operadores de momento

Estados propios del momento angular orbital en la representación |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

¿Definición matemática rigurosa de operador vectorial?

¿La mecánica cuántica generaliza de alguna manera el concepto de tensor afín?

¿Cómo puede el valor medio de una cantidad bebebe un operador?

Combinando dos hamiltonianos 1D: ¿Cómo construir correctamente el nuevo hamiltoniano?

Producto tensorial de operadores en QM

Operadores de tensores esféricos: la existencia de rotaciones

Aclaración en la derivación del operador de momento radial prprp_r