¿Cuáles son las condiciones de contorno para el átomo de hidrógeno que hacen que la serie de potencias polares deba terminar?

En lugar de expandirse en serie alrededor$x=0$, tendrás mejor suerte con una serie alrededor$x=1$. Entonces obtendrás

El radio de convergencia de esta serie (a menos que termine) es entonces

Los únicos dos puntos singulares que tiene la ecuación que estamos resolviendo son los puntos singulares regulares en$x=\pm1$. A medida que nos expandimos a la serie Taylor en torno a$x=1$, nuestra solución será analítica en este punto. Pero el radio limitado de convergencia de la serie de Taylor implica que hay una singularidad en alguna parte. De hecho, todavía tenemos el otro punto singular en$x=-1$. Este es exactamente el punto de singularidad más allá del cual la serie diverge a menos que termine.

Pero OTOH, sabemos por la simetría del problema (invariancia del hamiltoniano bajo$z$-inversión) que$P(-x)=\pm P(x)$, es decir$P$es par o impar. Como$P$es analítico en$x=1$por construcción, se sigue que también debe ser analítico en$x=-1$.

Entonces, esto requiere que la serie termine, por lo que la analiticidad es la condición límite que está buscando.

La cuestión de encontrar o justificar las condiciones de contorno correctas para la ecuación de Schrödinger (o para las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes de su factorización) es una historia interminable. Razones como " las funciones de onda deben ser continuas ", "$\psi$no puede divergir ", o" debe llegar a cero porque esperamos una probabilidad cero " por lo general contienen la mitad de la verdad, pero pierden el punto real y no pueden ir más allá del nivel de los argumentos de renuncia manual.

La interpretación probabilística requiere solo que, para un problema definido en un dominio$D$en$\mathbb{R}^n$,$|\psi|^2$sería integrable, es decir, debería pertenecer al espacio de Hilbert$L_2(D)$. En$L_2(D)$muchos de los elementos ni siquiera son continuos y se les permite divergir, siempre que su módulo cuadrado siga siendo integrable.

La condición que impone una restricción realmente fuerte a las funciones de onda es el requisito adicional de estar en el dominio de un operador autoadjunto. Para los operadores diferenciales, la autoadjunción es una condición bastante fuerte. Por supuesto, la naturaleza diferencial del operador requiere restringir el dominio al subconjunto de elementos diferenciables de$L_2(D)$. Pero es el requisito de la autoadjunción lo que proporciona las restricciones reales sobre las condiciones de contorno. Entonces, por ejemplo, la desaparición de la función de onda en el límite para el pozo cuadrado infinito, o las condiciones de continuidad para un potencial constante escalonado finito, todo se puede encontrar y justificar como condición para asegurar el dominio correcto donde el momento y / o Los operadores hamiltonianos son autoadjuntos.

El caso del momento angular no es diferente. La condición de "periodicidad" en el$\phi$La dependencia de la función de onda, cuando se representa en coordenadas esféricas, es nuevamente consecuencia de restringirse a elementos del subconjunto de la función diferenciable en$L_2[0,2 \pi]$donde la componente z$\hat L_z$del momento angular es autoadjunto.

Finalmente, también$\hat L_x$y$\hat L_y$, y luego$\hat L^2$poner restricción a las condiciones de contorno en$\theta$, siempre como consecuencia del requisito de autoadjunción. Resulta (es un ejercicio de integración por partes) que una divergencia logarítmica de la función de onda en$\theta=0$y en$\theta=2 \pi$(resultante de un valor de A que no termina la serie después de un número finito de términos), aunque compatible con la integrabilidad del módulo cuadrado en el intervalo$[0,2 \pi]$, no sería compatible con el dominio donde$\hat L^2$es auto adjunto.

Acerca de las razones y la importancia de ser autoadjunto para los operadores QM, puedo confiar en dos referencias aquí en SE: ¿ Por qué la mecánica cuántica no se contenta con los operadores simétricos, sino que quiere operadores autoadjuntos? y ¿ Qué implica exactamente la necesidad de la mecánica cuántica de operadores autoadjuntos y no solo simétricos?

No voy a probar nada, pero espero dar un argumento razonable. Supongamos que la serie no termina. ¿Qué sucede con los grandes?$n$?

Bueno, de tu recursividad obtenemos

Fresco. Entonces los coeficientes se vuelven uno en lo mismo. Entonces podemos dar una solución aproximada solo para las grandes potencias, con la serie geométrica habitual:

Pero luego piense en lo que tiene que hacer su solución. Es una función de onda, ¿verdad? Entonces tiene que ser normalizable, es decir

Pero reemplaza esta solución aproximada que encontramos. ¿Qué obtenemos?

Lo cual diverge claramente. Por lo tanto, la serie debe terminar en algún punto y$A=l(l+1)$para algún número natural$l$. Y esto también fija la paridad de los exponentes en el polinomio, ya que$l(l+1)$solo puede poner a cero una paridad de coeficientes, mientras que la otra tiene que ser cero desde el principio.

La razón por la que debe terminar es literalmente la física . Matemáticamente la ecuación diferencial de Legendre tiene dos tipos de soluciones. Soluciones de tipo 1, denominadas$P_\ell(x)$, que son finitos en$x=\pm 1$y de tipo 2, denotado por$Q_\ell(x)$, que explotan en$x=\pm 1$. Así que físicamente debemos exigir que nuestra solución sea finita en$x=\cos\theta=\pm 1$porque debe representar no solo una función normalizable sino también una función acotada dentro del dominio del problema (en este caso$[-1,1]$), para que podamos dar a sus valores una interpretación probabilística. Ahora cómo verlo desde la ecuación.

Estudia dos casos.

Caso 1:$A=\ell(\ell +1)$para$\ell$un entero En este caso, como muestra su fórmula de recurrencia, el coeficiente$a_{\ell+2}$se desvanecerá y el resto será cero a partir de entonces. Conduciendo a los polinomios de Legendre del primer tipo.

Caso 2:$A\neq\ell(\ell +1)$. Se puede estudiar el radio de convergencia de la serie tomando el límite de la relación entre los coeficientes,