¿Cómo verificar la invariancia conforme de un Lagrangiano?

La acción en el espacio bidimensional de Minkowski es

$$S=\int dx^0dx^1(-\dot\iota)\bar\Psi\Gamma^\mu\partial_\mu\Psi$$ dónde $$\Psi=\begin{pmatrix}\Phi\\ \Phi^\dagger\end{pmatrix}$$ Podemos realizar la rotación de Wick$x^0\mapsto\dot\iota x^0$bajo el cual la derivada parcial se transforma como$\partial_1\to\dot\iota\partial_1$. Esto es lo mismo que elegir$\Gamma$-matrices $$\Gamma^1=\begin{pmatrix}0&-\dot\iota\\ \dot\iota&0\end{pmatrix}$$ y adicional$\dot\iota$factor en la integración anterior. Podemos escribir $$\begin{align}\Gamma^0\Gamma^\mu\partial_\mu&=\Gamma^0(\Gamma^0\partial_0+\Gamma^1\partial_1)\\ &=\begin{pmatrix}\partial_0+\dot\iota\partial_1&0\\ 0&\partial_0-\dot\iota\partial_1\end{pmatrix}\\ &=2\begin{pmatrix}\partial_{\bar z}&0\\ 0&\partial_z\end{pmatrix}\end{align}$$ La acción después de calcular el jacobiano de transformación es $$\begin{align}S&=\int dzd\bar z\bar\Psi\begin{pmatrix}\partial_{\bar z}&0\\ 0&\partial_z\end{pmatrix}\Psi\\ &=\int dzd\bar z(\Phi\bar\partial\Phi+\bar\Phi\partial\bar\Phi)\end{align}$$ Lo primero es darse cuenta de que$\Phi$es un campo quiral, para ello derivamos la ecuación de movimiento variando la acción con respecto a los campos$\Phi$y$\Phi^\dagger$ $$\begin{align}0=\delta_\Phi S&=\int d^2z\big(\delta\Phi\bar\partial\Phi+\Phi\bar\partial(\delta\Phi)\big)\\ &=\int d^2z\big(\delta\Phi\bar\partial\Phi+\bar\partial(\Phi\delta\Phi)-(\bar\partial\Phi)\delta\Phi\big)\\ &=2\int d^2z\delta\Phi\bar\partial\Phi\end{align}$$ Como la ecuación tiene que ser verdadera para todas las variaciones$\delta\Phi$, encontramos la ecuación de movimiento $$\bar\partial\Phi=0$$ De manera similar, al variar el campo$\delta\Phi^\dagger$, encontramos $$\partial\Phi^\dagger=0$$ lo que significa$\Phi=\Phi(z)$es campo primario y$\Phi^\dagger=\Phi^\dagger(\bar z)$es un campo antiquiral. A continuación veremos que la acción es invariable bajo transformación conforme si el campo$\Phi$y$\Phi$son campos primarios con dimensiones conformes$(h,\bar h)=(\frac{1}{2},0)$, y$(h,\bar h)=(0,\frac{1}{2})$respectivamente. $$\begin{align}S\to &\int dzd\bar z\Big(\Phi'(z,\bar z)\partial_{\bar z}\Phi'(z,\bar z)+\bar\Phi'(z,\bar z)\partial_{z}\bar\Phi'(z,\bar z)\Big)\\ =&\int\frac{\partial z}{\partial w}dw\frac{\partial\bar z}{\partial\bar w}d\bar w\Big(\big(\frac{\partial w}{\partial z}\big)^{\frac{1}{2}}\Phi(w,\bar w)\frac{\partial \bar w}{\partial \bar z}\partial_{\bar w}\big(\frac{\partial w}{\partial z}\big)^{\frac{1}{2}}\Phi(w,\bar w)\\ &+\big(\frac{\partial\bar w}{\partial\bar z}\big)^{\frac{1}{2}}\bar\Phi(w,\bar w)\frac{\partial w}{\partial z}\partial_{w}\big(\frac{\partial\bar w}{\partial\bar z}\big)^{\frac{1}{2}}\bar\Phi(w,\bar w)\Big)\\ =&\int dwd\bar w \Big(\Phi(w,\bar w)\partial_{\bar w}\Phi(w,\bar w)+\bar\Phi(w,\bar w)\partial_{w}\bar\Phi(w,\bar w)\Big)\end{align}$$

Esto muestra que la acción es de hecho invariable bajo transformación conforme si$\Phi$y$\Phi^\dagger$son campo primario de dimensión$\frac{1}{2}$.

Duda que aún pertenece : Demostramos que la acción es invariable bajo transformación conforme si$\Phi$y$\Phi^\dagger$son campo primario de dimensión$\frac{1}{2}$. Pero, ¿cómo sabemos que las dimensiones conformes son$\frac{1}{2}$?

(Fuente: Introducción a la teoría del campo conforme por R Blumenhagen y E Plauschinn)