Campo escalar lagrangiano en espacio-tiempo curvo

La ecuación Euler-Lagrangiana correcta para el escalar en el espacio-tiempo curvo es

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\left[\sqrt{-g}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\phi\right)}\right],$$ donde debe estar la densidad lagrangiana $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-V\left(\phi\right)$$ y no contiene el $\sqrt{-g}$factor. Tenga en cuenta que esto es lo mismo que $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\nabla_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\phi\right)}\right],$$ en términos de derivada covariante, $\nabla_{\mu}$.

El lado derecho es

$$\nabla_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\phi\right)}\right] = \nabla_{\mu}\left(g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi\right) = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\left(\partial_{\nu}\phi\right) \equiv \Box\phi,$$ donde la segunda igualdad es verdadera porque la derivada covariante, $\nabla_{\mu}$, conmuta con el tensor métrico, $g^{\mu\nu}$. El lado izquierdo es $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-\frac{\partial V\left(\phi\right)}{\partial\phi}.$$ Entonces la ecuación de movimiento para un campo escalar $\phi$en el espacio-tiempo curvo es $$\Box\phi=-\frac{\partial V\left(\phi\right)}{\partial\phi}.$$