Construcción de Lagrangiano a partir de Hamiltoniano para fermiones de Majorana

Question

Construcción de Lagrangiano a partir de Hamiltoniano para fermiones de Majorana

Física
teoría de campo
majorana-fermiones
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

Kartik Chhajed

El texto da la densidad hamiltoniana como

H = \frac{v}{2} (ψ^{†} \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X} - ψ \frac{\partial ψ}{\partial X}) + Δ Ψ^{†} Ψ

$\begin{equation}{\cal H}=\frac{v}{2}\Big(\psi^\dagger\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)+\Delta\Psi^\dagger\Psi \end{equation}$

y la densidad de Langrangian como

L = ψ^{†} \frac{\partial ψ}{\partial τ} + \frac{v}{2} (ψ^{†} \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X} - ψ \frac{\partial ψ}{\partial X}) + Δ Ψ^{†} Ψ

$\begin{equation}{\cal L}=\psi^\dagger\frac{\partial\psi}{\partial \tau}+\frac{v}{2}\Big(\psi^\dagger\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)+\Delta\Psi^\dagger\Psi \end{equation}$

El texto también dice que el campo está relacionado con el fermión de Majorana cuando $\Delta=0$ cuya densidad langrangiana (de otro texto) es

L_{METRO} = \frac{1}{2} (ψ^{†} \frac{\partial ψ}{\partial X^{0}} - ψ^{†} \frac{\partial ψ}{\partial X^{1}} + ψ \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X^{0}} + ψ \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X^{1}})

$\begin{equation}{\cal L_M}=\frac{1}{2}\Big(\psi^\dagger\frac{\partial\psi}{\partial x^0}-\psi^\dagger\frac{\partial\psi}{\partial x^1}+\psi\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x^0}+\psi\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x^1}\Big)\end{equation}$ Si trato de derivar la densidad langrangiana del hamiltoniano usando

L = Π \dot{Φ} - H

${\cal L}=\Pi\dot\Phi-\cal H$ (tomando

Π = Ψ^{†}

$\Pi=\Psi^\dagger$ , que no estoy seguro de estar haciendo bien), obtengo la Densidad Lagrangiana como

L_{equivocado} = \frac{v}{2} ψ \frac{\partial ψ}{\partial X}

${\cal L}_{\text{wrong}}=\frac{v}{2}\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}$

¿Cómo se relacionan todos los lagrangianos?
¿Dónde me equivoco al encontrar Langrangian de Hamiltonian?

Más particularmente

Cómo $\cal L_M = L$ ?
¿Cuál debería ser mi $\Pi$ en ${\cal L}=\Pi\dot\Phi-\cal H$ ?

Referencias:

(texto1: http://edu.itp.phys.ethz.ch/fs13/cft/SM2_Molignini.pdf ) (página: 28-29)

(texto2: Introducción a la teoría del campo conforme, R Blumenhagen y E Plauschinn) (página: 56-57)

qmecanico

Publicación relacionada de OP: physics.stackexchange.com/q/538770/2451

qmecanico

Comentario menor (v4): Langrangian debería ser Lagrangiano.

Kartik Chhajed

Bueno. Voy a rectificar eso.

Respuestas (1)

Construcción de Lagrangiano a partir de Hamiltoniano para fermiones de Majorana

Publicación relacionada de OP: physics.stackexchange.com/q/538770/2451
Comentario menor (v4): Langrangian debería ser Lagrangiano.

Kartik Chhajed · Answer 1

Los que trabajan en el campo de la cond. mate. físico Ya debe haber reconocido que el hamiltoniano es Majorna Fermions. [ https://arxiv.org/abs/cond-mat/0010440]

Para el teórico de campo, encontramos esto de una manera diferente. En CFT, el Lagrangiano para los fermiones de Majorana (fermiones cuya antipartícula es la partícula misma) es

L_{METRO} = \frac{1}{2} \bar{Ψ} (\dot{yo} Γ^{m} \partial_{m} - metro) Ψ

${\cal L_M}=\frac{1}{2}\bar\Psi (\dot\iota\Gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi$ Dónde

Ψ = (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix})

$\Psi=\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}$ Podemos construir el hamiltoniano como

H = Π \dot{Ψ} - L

${\cal H}=\Pi\dot\Psi-{\cal L}$ campo conjugado

Π

$\Pi$ es

Π = \frac{\partial L}{\partial \dot{Ψ}} = \frac{\dot{yo}}{2} \bar{Ψ} Γ^{0}

$\Pi=\frac{\partial\cal L}{\partial\dot\Psi}=\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi\Gamma^0$ y el hamiltoniano es

H = \frac{\dot{yo}}{2} \bar{Ψ} Γ^{0} \dot{Ψ} - \frac{\dot{yo}}{2} \bar{Ψ} Γ^{0} \partial_{0} Ψ - \frac{\dot{yo}}{2} \bar{Ψ} Γ^{1} \partial_{1} Ψ + \frac{1}{2} metro \bar{Ψ} Ψ

${\cal H}=\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi\Gamma^0\dot\Psi-\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi \Gamma^0\partial_0\Psi-\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi \Gamma^1\partial_1\Psi+\frac{1}{2}m\bar\Psi\Psi$

H = - \frac{\dot{yo}}{2} \bar{Ψ} Γ^{1} \partial_{1} Ψ + \frac{1}{2} metro \bar{Ψ} Ψ

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi \Gamma^1\partial_1\Psi+\frac{1}{2}m\bar\Psi\Psi$

H = - \frac{\dot{yo}}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & ψ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \partial_{1} (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix}) + \frac{metro}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & ψ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix})

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\partial_1\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}+\frac{m}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}$

H = - \frac{\dot{yo}}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & - ψ \end{matrix}) \partial_{1} (\begin{matrix} ψ^{†} \\ ψ \end{matrix}) + \frac{metro}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & - ψ \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix})

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &-\psi\end{pmatrix}\partial_1\begin{pmatrix}\psi^\dagger\\ \psi\end{pmatrix}+\frac{m}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &-\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}$

H = - \frac{\dot{yo}}{2} (ψ^{†} \partial_{1} ψ^{†} - ψ \partial_{1} ψ) + \frac{metro}{2} (ψ^{†} ψ - ψ ψ^{†})

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}(\psi^\dagger\partial_1\psi^\dagger-\psi\partial_1\psi)+\frac{m}{2}(\psi^\dagger\psi-\psi\psi^\dagger)$ Usando la relación de anticonmutación del fermión obtenemos,

H = - \frac{\dot{yo}}{2} (ψ^{†} \partial_{1} ψ^{†} - ψ \partial_{1} ψ) + metro ψ^{†} ψ

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}(\psi^\dagger\partial_1\psi^\dagger-\psi\partial_1\psi)+m\psi^\dagger\psi$ ahora para responder a tu pregunta

Hemos mostrado la relación en hamiltoniano utilizada por cond. estera. físico personas y personas teóricas de campo. Majorana fermión hamiltoniano utilizado en cond. estera. físico se puede construir a partir de Majorana fermion Lagrangian utilizado por la teoría de campos.
He mostrado la transformación de Legendre de $\cal L\mapsto H$ , estoy seguro de que puedes hacer lo contrario.

Problemas en tu pregunta:

El lagrangiano que has escrito en la Ecuación (2) es completamente erróneo.

El problema en el que debes trabajar

Eso $\frac{\dot\iota}{2}$ factor de Transformación de Legendre y $\frac{v}{2}$ factor en hamiltoniano de cond. estera. físico

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