Pregunta conceptual sobre la transformación de campo

Question

Pregunta conceptual sobre la transformación de campo

Física
simetría
mentira-álgebra
teoría de campo
teoría del campo conforme

c y f

(cf Teoría de campos conformes por Di Francesco et al, p39) De otra fuente, entiendo la derivación matemática que conduce a la ecuación (2.126) en Di Francesco et al, sin embargo, conceptualmente no entiendo por qué la ecuación es como es. la ecuacion es

Φ^{'} (X) - Φ (X) = - i ω_{a} {GRAMO}_{a} Φ (X)

$\Phi'(x) - \Phi(x) = -i\omega_a G_a \Phi(x)$ G se define como el generador que transforma tanto las coordenadas como el campo, según tengo entendido (por lo que es el generador completo de la transformación de simetría) y, sin embargo, parece que no hay instancias del sistema de coordenadas transformado (el sistema primado) presentes en la LHS de la ecuación.

Otro ejemplo es la ecuación $\Phi'(x') = D(g)\Phi(x)$ , donde el campo se transforma bajo una representación $D$ de algún grupo de Lie. $D$ luego se descompone infinitesimalmente como $1 + \omega \cdot S$ dónde $S$ es la matriz de espín del campo $\Phi$ . Así que cuando $S$ actúa sobre el campo, ¿no debería transformar únicamente los índices de espín del campo? Pero parece que estamos en el sistema imprimado de las coordenadas en el LHS, lo que significa que las coordenadas también han cambiado.

¿Alguien puede proporcionar algunos pensamientos?

También me preguntaba cómo obtuvo Di Francesco la ecuación (2.127). Esto es lo que estaba pensando: Ampliar $\Phi(x')$ , manteniendo la 'forma' del campo (como dice Grenier) igual, por lo que $\Phi(x') \approx \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta \Phi(x')}{\delta \omega_a}$ . Ahora inserte en (2.125) da

Φ^{'} (X^{'}) = Φ (X^{'}) - ω_{a} \frac{d X^{m}}{d ω_{a}} \frac{\partial Φ (X^{'})}{d X^{m}} + ω_{a} \frac{d F}{d ω_{a}} (X)

$\Phi'(x') = \Phi(x') - \omega_a \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}\frac{\partial \Phi(x')}{\delta x^{\mu}} + \omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x)$ que es casi el resultado correcto excepto que Di Francesco tiene una prima en la x en el término final. Mi pensamiento fue que definió una función equivalente F en el sistema primado, es decir

F (Φ (x)) \equiv F^{'} (Φ (x^{'}))

$F(\Phi(x)) \equiv F'(\Phi(x'))$ . ¿Son correctos estos argumentos?

Trimok

Creo que tienes razón, los generadores son definidos por Di Francesco como:

Φ^{'} (x) - Φ (x) = - i ω_{a} G_{a} Φ (x)

$\Phi'(x) - \Phi(x) = -i\omega_a G_a \Phi(x)$ . Así que elimino mi respuesta anterior. Sin embargo,

2.134

$2.134$ es una aplicación directa de

2.128

$2.128$

c y f

Sí, de hecho, aunque lo que dijiste sobre reorganizar la ecuación (2.128) en

\frac{d F}{d ω_{a}} = \frac{d X^{m}}{d ω_{a}} \partial_{m} Φ - i {GRAMO}_{a} Φ

$\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a} = \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a} \partial_{\mu}\Phi - iG_a\Phi$ de manera que la

t o t a l

${\it total}$ cambio de

F

$\mathcal F$ debido a

ω

$\omega$ es una pieza que transforma las coordenadas y una pieza que transforma los campos tiene sentido. ¿Qué opinas?

Trimok

La respuesta de @joshphysics es más clara. Su (*) ecuación (y más claramente la siguiente ecuación), con sus definiciones finales de la

G_{a}

$G_a$ implica

2.128

$2.128$ , eso es

G_{a}^{(F)} = G_{a}^{(V)} - G_{a}^{(M)}

$G_a^{(\mathscr F)} = G_a^{(V)} - G_a^{(M)}$

c y f

cuando dijiste eso

Φ (x^{'}) \approx Φ (x) + ω_{a} \frac{δ Φ (x)}{δ ω_{a}}

$\Phi(x') \approx \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \omega_a}$ , esto tiene más sentido, pero entonces, ¿cómo conduce a la ecuación correcta (2.127)?

Trimok

Bien, entiendo el punto. La diferencia entre

x

$x$ y

x^{'}

$x'$ es simplemente infinitesimal (

ω_{a}

$\omega_a$ parámetros). Así que en el primer orden en el (

ω_{a}

$\omega_a$ parámetros), no hace ninguna diferencia considerando

ω_{a} \frac{δ F}{δ ω_{a}} (x^{'})

$\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x')$ y

ω_{a} \frac{δ F}{δ ω_{a}} (x)

$\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x)$ . La diferencia entre los dos es de segundo orden en el parámetro infinitesimal

ω_{a}

$\omega_a$ , por lo que es "despreciable"

c y f

Ah, muy bien, tiene sentido. ¿Explica eso también el número primo en x al final de (2.127) (el número primo que aparece en

ω_{a} \frac{δ F}{δ ω_{a}} (x^{'})

$\omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x')$ )

Trimok

Sí, estaba hablando precisamente de

2.127

$2.127$

Respuestas (1)

Pregunta conceptual sobre la transformación de campo

Creo que tienes razón, los generadores son definidos por Di Francesco como: $\Phi'(x) - \Phi(x) = -i\omega_a G_a \Phi(x)$ . Así que elimino mi respuesta anterior. Sin embargo, $2.134$ es una aplicación directa de $2.128$
Sí, de hecho, aunque lo que dijiste sobre reorganizar la ecuación (2.128) en $\frac{d F}{d ω_{a}} = \frac{d X^{m}}{d ω_{a}} \partial_{m} Φ - i {GRAMO}_{a} Φ$ $\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a} = \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a} \partial_{\mu}\Phi - iG_a\Phi$ de manera que la ${\it total}$ cambio de $\mathcal F$ debido a $\omega$ es una pieza que transforma las coordenadas y una pieza que transforma los campos tiene sentido. ¿Qué opinas?
La respuesta de @joshphysics es más clara. Su (*) ecuación (y más claramente la siguiente ecuación), con sus definiciones finales de la $G_a$ implica $2.128$ , eso es $G_a^{(\mathscr F)} = G_a^{(V)} - G_a^{(M)}$
cuando dijiste eso $\Phi(x') \approx \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \omega_a}$ , esto tiene más sentido, pero entonces, ¿cómo conduce a la ecuación correcta (2.127)?
Bien, entiendo el punto. La diferencia entre $x$ y $x'$ es simplemente infinitesimal ( $\omega_a$ parámetros). Así que en el primer orden en el ( $\omega_a$ parámetros), no hace ninguna diferencia considerando $\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x')$ y $\omega_a \frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x)$ . La diferencia entre los dos es de segundo orden en el parámetro infinitesimal $\omega_a$ , por lo que es "despreciable"
Ah, muy bien, tiene sentido. ¿Explica eso también el número primo en x al final de (2.127) (el número primo que aparece en $\omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x')$ )

joshfísica · Answer 1

Acciones de grupo en la teoría clásica de campos.

Sea una teoría clásica de campos $\Phi:M\to V$ ser dado, donde $M$ es una variedad "base" y $V$ es un espacio objetivo que, en aras de la simplicidad y la claridad pedagógica, tomamos como un espacio vectorial. Dejar $\mathscr F$ denotan el conjunto de configuraciones de campo admisibles, es decir, el conjunto de funciones admisibles $\Phi:M\to V$ que consideramos en la teoría.

En una teoría de campo dada, a menudo consideramos una acción de un grupo $G$ En el set $\mathscr F$ de configuraciones de campo que especifica cómo se "transforman" bajo los elementos del grupo. Llamemos a este grupo acción $\rho_\mathscr F$ , entonces $\rho_\mathscr F$ es un grupo de elementos de mapeo de homomorfismo $g\in G$ a las biyecciones $\rho_\mathscr F(g):\mathscr F \to \mathscr F$ . Otra forma de decir esto es que

\begin{aligned} ρ_{F} : GRAMO \to S y metro (F) \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\mathscr F}:G\to \mathrm{Sym}(\mathscr F) \end{align}$ dónde

S y m (F)

$\mathrm{Sym}(\mathscr F)$ es simplemente el mapeo del grupo de biyecciones

F

$\mathscr F$ a sí mismo.

Ahora, también sucede a menudo que podemos escribir tal acción de grupo en términos de otras dos acciones de grupo. El primero de ellos es una acción de $G$ en $M$ , es decir, una acción del grupo sobre la variedad base sobre la que se definen las configuraciones de campo. La segunda es una acción de $G$ en $V$ , es decir, una acción del grupo en el espacio de destino de las configuraciones de campo. Sea el primero denotado $\rho_M$ y el segundo $\rho_V$ , tan explícitamente

\begin{aligned} ρ_{METRO} & : GRAMO \to S y metro (METRO) \\ ρ_{V} & : GRAMO \to S y metro V . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_M &: G \to \mathrm{Sym}(M)\\ \rho_V &: G \to \mathrm{Sym}{V}. \end{align}$ De hecho, por lo general la acción de grupo

ρ_{F}

$\rho_\mathscr F$ está escrito en términos de

ρ_{M}

$\rho_M$ y

ρ_{V}

$\rho_V$ como sigue:

\begin{aligned} (⋆) & ρ_{F} (gramo) (Φ) (X) = ρ_{V} (gramo) (Φ (ρ_{METRO} (gramo)^{- 1} (X))), \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\mathscr F}(g)(\Phi)(x) = \rho_V(g)(\Phi(\rho_M(g)^{-1}(x))), \tag{$\star$} \end{align}$ o, escribiendo esto de una forma tal vez más clara que evite tantos paréntesis,

\begin{aligned} ρ_{F} (gramo) (Φ) = ρ_{V} (gramo) \circ Φ \circ ρ_{METRO} (gramo)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_\mathscr F(g)(\Phi) = \rho_V(g)\circ \Phi \circ \rho_M(g)^{-1}. \end{align}$

Tomando contacto con Di Francesco et. notación de al. - parte 1

Para hacer contacto con la notación de Di Francesco, observe que si usamos la notación $x'$ para un punto múltiple base transformado, $\mathcal F$ para la acción del grupo espacial objetivo, y $\Phi'$ para la configuración del campo transformado, es decir, si usamos las abreviaturas

\begin{aligned} X^{'} = ρ_{METRO} (gramo) (X), ρ_{V} (gramo) = F, Φ^{'} = ρ_{F} (gramo) (Φ), \end{aligned}

$\begin{align} x' = \rho_M(g)(x), \qquad \rho_V(g) = \mathcal F, \qquad \Phi' = \rho_\mathscr F(g)(\Phi), \end{align}$ entonces (

⋆

$\star$ ) se puede escribir de la siguiente manera:

\begin{aligned} Φ^{'} (X^{'}) = F (Φ (X)) . \end{aligned}

$\begin{align} \Phi'(x') = \mathcal F(\Phi(x)). \end{align}$ que es precisamente la ecuación 2.114 en Di Francesco

Acciones de grupo de mentiras y generadores infinitesimales.

Ahora, supongamos que $G$ es un grupo de Lie matricial con álgebra de Lie $\mathfrak g$ . Dejar $\{X_a\}$ ser una base para $\mathfrak g$ , entonces cualquier elemento de $X\in\mathfrak g$ Se puede escribir como $\omega_aX_a$ (suma implícita) para algunos números $\omega_a$ . Además, $e^{-i\epsilon\omega_aX_a}$ es un elemento del grupo de mentira $G$ para cada $\epsilon\in\mathbb R$ . En particular, observe que podemos expandir la exponencial sobre $\epsilon = 0$ para obtener

\begin{aligned} {mi}^{- i ϵ ω_{a} X_{a}} = I_{GRAMO} - i ϵ ω_{a} X_{a} + O (ϵ^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} e^{-i\epsilon\omega_aX_a} = I_G - i\epsilon\omega_aX_a + O(\epsilon^2). \end{align}$ dónde

I_{G}

$I_G$ es la identidad en

G

$G$ . Entonces el

X_{a}

$X_a$ son los generadores infinitesimales de este mapeo exponencial. Observe que los generadores son precisamente los elementos básicos que elegimos para el álgebra de Lie. Si hubiéramos elegido una base diferente, los generadores habrían sido diferentes. Pero ahora, supongamos que evaluamos las diversas acciones grupales

ρ_{F}, ρ_{M}, ρ_{V}

$\rho_\mathscr F, \rho_M, \rho_V$ sobre un elemento de

G

$G$ escrito de esta manera, entonces encontraremos que existen funciones

G_{a}^{(F)}, G_{a}^{(M)}, G_{a}^{(V)}

$G_a^{(\mathscr F)}, G_a^{(M)}, G_a^{(V)}$ para cual

\begin{aligned} ρ_{F} ({mi}^{- i ϵ ω_{a} X_{a}}) & = I_{F} - i ϵ ω_{a} {GRAMO}_{a}^{(F)} + O (ϵ^{2}) \\ ρ_{METRO} ({mi}^{- i ϵ ω_{a} X_{a}}) & = I_{METRO} - i ϵ ω_{a} {GRAMO}_{a}^{(METRO)} + O (ϵ^{2}) \\ ρ_{V} ({mi}^{- i ϵ ω_{a} X_{a}}) & = I_{V} - i ϵ ω_{a} {GRAMO}_{a}^{(V)} + O (ϵ^{2}), \end{aligned}

$\begin{align} \rho_\mathscr F(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_\mathscr F -i\epsilon\omega_a G_a^{(\mathscr F)} + O(\epsilon^2) \\ \rho_M(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_M -i\epsilon\omega_a G_a^{( M)} + O(\epsilon^2) \\ \rho_V(e^{-i\epsilon\omega_aX_a}) &= I_V -i\epsilon\omega_a G_a^{(V )} + O(\epsilon^2), \end{align}$ y estas funciones

G_{a}

$G_a$ son, por definición, los generadores infinitesimales de estas tres acciones grupales. Observe, nuevamente, que los generadores que obtenemos dependen de la base que elegimos para el álgebra de Lie

g

$\mathfrak g$ .

Tomando contacto con Di Francesco et. notación de al. - parte 2

Di Francesco simplemente usa las siguientes notaciones:

\begin{aligned} {GRAMO}_{a}^{(F)} = {GRAMO}_{a}, {GRAMO}_{a}^{(METRO)} (X) = i \frac{d X}{d ω_{a}}, {GRAMO}_{a}^{(V)} (Φ (X)) = i \frac{d F}{d ω_{a}} (X) . \end{aligned}

$\begin{align} G_a^{(\mathscr F)} = G_a, \qquad G_a^{(M)}(x) = i \frac{\delta x}{\delta \omega_a}, \qquad G_a^{(V)}(\Phi(x)) = i\frac{\delta \mathcal F}{\delta \omega_a}(x). \end{align}$ ¿No te gustaría que los autores explicaran mejor estas cosas? ;)

Ejemplo. Campo vectorial de Lorentz.

Como ejemplo, considere una teoría de campos que contenga un campo vectorial de Lorentz $A$ . Entonces la variedad base $M$ sería el espacio de Minkowski, el grupo $G$ sería el grupo de Lorentz,

\begin{aligned} METRO = R^{3, 1}, GRAMO = S O (3, 1), \end{aligned}

$\begin{align} M = \mathbb R^{3,1}, \qquad G = \mathrm{SO}(3,1), \end{align}$ y las acciones de grupo relevantes se definirían de la siguiente manera para cada

Λ \in S O (3, 1)

$\Lambda \in \mathrm{SO}(3,1)$ :

\begin{aligned} ρ_{METRO} (Λ) (X) & = Λ X \\ ρ_{V} (Λ) (A (X)) & = Λ A (X) \\ ρ_{F} (Λ) (A) (X) & = Λ A (Λ^{- 1} X) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_M(\Lambda)(x) &= \Lambda x \\ \rho_V(\Lambda)(A(x)) &= \Lambda A(x) \\ \rho_\mathscr F(\Lambda)(A)(x) &= \Lambda A(\Lambda^{-1}x). \end{align}$

¡Muchas gracias joshfísica! Tengo algunas preguntas breves: - ¿Tiene $M$ aquí, la variedad 'base', ¿corresponde, por ejemplo, a algún espacio de coordenadas o marco de referencia incrustado en un espacio de Minkowski? -¿El hecho de que $V$ ser un espacio vectorial implica que el campo bajo consideración es un campo vectorial? Entonces, por ejemplo, ¿V corresponde al espacio en el que viven todos los vectores de espín admisibles del campo?
¿Es lo siguiente exacto? En una transformación de Lorentz, tenemos que $\rho_{M}(g)(x) \rightarrow \Lambda$ , dónde $\Lambda$ es un elemento del grupo de Poincaré. En este caso, también tenemos que $\rho_{\mathcal F}(g)(\Phi) = \Lambda$ . Pero que seria $\rho_{V}(g) \equiv \mathcal F$ ¿representar?
@CAF La variedad base sería, por ejemplo, el espacio de Minkowski para teorías de campo como QED. El hecho de que $V$ es un espacio vectorial permite todo tipo de cosas exóticas, como que el campo sea un campo tensorial (los tensores son en sí mismos elementos de un espacio vectorial). El campo también podría ser un campo spinor, etc. Agregué un ejemplo al final para iluminar la notación.
Ya veo, gracias. Si $x' = \Lambda x$ , entonces $\Lambda^{-1} x' = x$ . La penúltima ecuación anterior en la notación de Di Francesco es $\mathcal F (\Phi(x)) = \Lambda \Phi(x),$ (Di Francesco en realidad usa $L_{\Lambda}$ .) Del mismo modo, (y no estoy seguro de esto) es la última ecuación que escribiste equivalente a $\Phi'(x') = \Lambda \Phi (x)$ ?(hmm, que es lo mismo que el anterior)
@CAF Sí, la última ecuación que escribí es equivalente a $\Phi'(x') = \Lambda \Phi(x)$ que no es lo mismo que la penúltima ecuación. La penúltima ecuación es solo la transformación del espacio objetivo, mientras que la última ecuación es la transformación completa del campo, incluida la transformación del espacio objetivo y la transformación de la variedad base.
La razón por la que pensé que era lo mismo fue porque en Di Francesco (2.114), hace la identificación $\Phi'(x') \equiv \mathcal F(\Phi(x))$ . La ecuación en una parte de tu respuesta, arriba. Gracias.

Pregunta conceptual sobre la transformación de campo

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Trimok

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