Corriente conservada en un campo escalar relativista complejo

Para mi clase de teoría de campos tengo la siguiente densidad lagrangiana

$$\mathscr{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^*\phi$$

Dónde$\eta^{\mu\nu}$es el tensor métrico (+--- convención) y * denota conjugación compleja. El lagrangiano es invariante bajo$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$y si así dejamos$\alpha$sea ​​de tamaño infinitesimal, entonces tenemos la siguiente expansión de la transformación$\phi\rightarrow \phi + i\alpha\phi$. Del teorema de Noether, sé que las corrientes conservadas para las transformaciones de simetría paramétrica s están dadas por

$$J^k_n=-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_k\phi_I)}(\Phi_{I,n}-\partial_m\phi_I X^m_n)-\mathscr{L}X^k_n,$$

y$n=1,...,s$, por una transformación

$$x^i\rightarrow x'^i= x^i+\delta x^i, \;\;\;i=1,...,d,$$

$$\phi_I(x)\rightarrow \phi_I'(x')=\phi_I(x)+\delta\phi_I(x).$$

Con$\phi_I$estando los campos en$\mathscr{L}$. Dónde$X$y$\Phi$se dan de la siguiente manera

$$\delta x^i=\sum_{1\leq n\leq s}X^i_n\delta\omega_n, \;\;\;\;\;\; \delta\phi_I(x)=\sum_{1\leq n\leq s}\Phi_{I,n}\delta\omega_n$$

Ahora en la densidad lagrangiana anterior tenemos que$\delta\omega=i\alpha$,$X^i=0$y$\Phi=\phi$. Ahora, cuando trato de calcular la corriente conservada, me quedo atascado aquí.

$$J^k=-\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_k\phi)}\phi=-\frac{1}{2}\left[\frac{\partial(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*)}{\partial(\partial_k\phi)}\partial_\nu\phi+\partial_\mu\phi^*\frac{\partial(\eta^{\mu\nu}\partial_\nu\phi)}{\partial(\partial_k\phi)}\right]\phi$$

Que según mi profesor debería ser igual$\frac{1}{2}(\partial^k\phi\phi^*-\partial^k\phi^*\phi)$. No tengo idea de cómo llega a ese resultado de mi anterior$J^k$.