Estoy tratando de resolver la enorme ecuación de Klein-Gordon en el viejo espacio-tiempo de Minkowski:
Pregunta: Usando la representación de dado (u otro mejor), ¿cómo se puede hacer realmente para calcular ? ¿Alguien tiene una referencia en la que se calcule algún ejemplo explícito donde va más allá de un simple -¿función? Incluso algo como o seria de gran ayuda
¡Gracias!
Soy consciente de que esta es una pregunta antigua y puede considerarse algo obsoleta, pero permítanme responderla de todos modos, aunque solo sea por el bien de la exhaustividad.
La representación del espacio de posición de la función de Klein-Gordon Green (propagador) claramente parece intimidante. El truco consiste en hacer el cálculo en el espacio de cantidad de movimiento, donde el propagador es solo una función racional. Antes de hacer esto, permítanme señalar que en el caso sin masa, , y para una fuente estática, , en realidad se está resolviendo la ecuación de Poisson. Si la fuente es radialmente simétrica, , como se sugiere en la pregunta, la solución es el potencial de Coulomb, . Teniendo en cuenta la masa que no desaparece, se obtiene un potencial de Yukawa, .
Esto se puede mostrar explícitamente en términos de integrales de Fourier. Primero, transforma el campo,
y de manera similar la fuente, . La solución del espacio de cantidad de movimiento de la ecuación de KG es entonces
con y la causa -prescripción. (Cambie apropiadamente para soluciones retrasadas/avanzadas). Luego transforme de nuevo al espacio de posición,
Como ejemplo, tome una fuente gaussiana, , con 'normalización' . Su transformada de Fourier es . los -integral en es por lo tanto trivial, y el la integración se puede hacer con la técnica habitual de residuos escribiendo . El resultado es
En el límite de la fuente puntual ( ) volvemos a obtener el potencial estándar de Yukawa.
Para fuentes dependientes del tiempo habrá transferencia de energía (no ), y la integral normalmente será más difícil. Por lo general, uno puede hacer el -integración vía residuos y el(los) restante(s) usando fase estacionaria como por ejemplo en el Cap. 2.1 de Peskin y Schroeder.
jamals
arturo suvorov
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