¿Diverge la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon?

Question

¿Diverge la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon?

Física
greens-funciones
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

A440

Estoy tratando de calcular el propagador de la teoría del campo escalar libre (es decir, la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon). En las páginas 23 y 24 de la Teoría del campo cuántico en pocas palabras de Zee (también puede encontrar exactamente la misma derivación en la página 5 de este ) él pone esto en la forma de una integral sobre 4-momentum así:

D (X) = \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i k X}}{k^{2} - {metro}^{2} + i ϵ}

$D(x) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{e^{ikx}}{k^2 - m^2 + i\epsilon}$

donde el $+i\epsilon$ es equivalente a pasar por debajo del poste en el semiplano izquierdo y por encima del poste en el semiplano derecho. Hasta ahora, todo bien. Luego hace una integral de contorno sobre el componente de energía de cuatro impulsos para obtener esto:

D (X) = - i \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} [{mi}^{- i (ω_{k} X^{0} - \vec{k} \cdot \vec{X})} θ (X^{0}) + {mi}^{i (ω_{k} X^{0} - \vec{k} \cdot \vec{X})} θ (- X^{0})]

$D(x) = -i\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k}[e^{-i(\omega_k x^0-\vec{k}\cdot\vec{x})}\theta(x^0) + e^{i(\omega_k x^0-\vec{k}\cdot\vec{x})}\theta(-x^0)]$ dónde

ω_{k} = \sqrt{{\vec{k}}^{2} + m^{2}}

$\omega_k = \sqrt{\vec{k}^2+m^2}$ y

θ

$\theta$ es la función escalón de Heaviside. Nuevamente, no puedo encontrar nada malo en esto. Pero cuando trato de hacer la integral sobre tres impulsos, ya sea en Mathematica oa mano, diverge terriblemente. He intentado hacer esto en una variedad de condiciones (

x^{0} = 0

$x^0 = 0$ y

\vec{x} \neq 0

$\vec{x} \neq 0$ ,

x^{0} > 0

$x^0>0$ y

\vec{x} = 0

$\vec{x}=0$ , etc.) y no importa lo que obtenga una integral sobre

| k |

$|k|$ que no logra converger. ¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Como ejemplo: Supongamos $x^0 = 0$ y $\vec{x} \neq 0$ . Entonces nuestra integral se convierte en

- i \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} porque (\vec{k} \cdot \vec{X}) .

$-i\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \cos(\vec{k}\cdot\vec{x}).$ Escribir esto en un sistema de coordenadas esféricas da (ya que no hay

ϕ

$\phi$ -dependencia)

- i \int_{0}^{\infty} d r \int_{0}^{π} d θ \frac{r^{2} pecado θ}{8 π^{2} \sqrt{r^{2} + {metro}^{2}}} porque (r | X | porque θ) .

$-i\int_0^\infty dr \int_0^\pi d\theta \frac{r^2\sin\theta}{8\pi^2\sqrt{r^2+m^2}}\cos(r|x|\cos\theta).$ Puedes hacer la integral sobre

θ

$\theta$ bastante fácil de conseguir

- \frac{i}{4 π^{2} | X |} \int_{0}^{\infty} d r \frac{r pecado (r | X |)}{\sqrt{r^{2} + {metro}^{2}}},

$-\frac{i}{4\pi^2 |x|} \int_0^\infty dr \frac{r\sin(r|x|)}{\sqrt{r^2+m^2}},$ que diverge. Parece bastante malo que una perturbación tenga una amplitud infinita para propagarse instantáneamente a otro lugar, así que obviamente algo ha ido muy mal aquí.

una mente curiosa

¿Conoces la renormalización?

A440

No aún no. Pero tenía la impresión de que usamos la renormalización para tratar con campos que interactúan, no algo tan simple como esto. ¿Estoy equivocado?

Meng Cheng

No creo que uno realmente necesite traer la renormalización aquí. La integral es tan divergente como

\int_{- \infty}^{\infty} e^{i k x} = δ (k)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}=\delta(k)$ . El truco habitual es poner un pequeño factor de amortiguamiento

e^{- η | x |}, η > 0

$e^{-\eta |x|}, \eta>0$ en el integrando, que corta la divergencia, y al final toma el límite

η \to

$\eta\rightarrow$ . En cierto sentido, esto es muy similar a la renormalización, aunque en un contexto mucho más simple.

tom heinzl

Su primera ecuación es la representación de Fourier del propagador de Feynman. Esta distribución se evalúa en muchos textos sobre teoría cuántica de campos. El resultado (con referencias) se da en esta entrada de Wikipedia y consiste en una función delta apoyada en el cono de luz (

x^{2} = 0

$x^2=0$ ) más las funciones de Bessel y Hankel. La renormalización del propagador no es necesaria en la teoría libre.

tom heinzl

Su integral final es finita y está dada por la función de Bessel modificada

K_{1}

$K_1$ como se presenta en la respuesta de Daniel. Configuración

x^{0} = 0

$x^0 = 0$ te lleva fuera del cono de luz, por lo que

x^{2} = - x^{2} < 0

$x^2 = - \mathbf{x}^2 < 0$ . Tu integral entonces se convierte en

(- i m / 4 π^{2} | x |) K_{1} (m | x |)

$(-im/4\pi^2 |\mathbf{x}|) \, K_1 (m |\mathbf{x}|)$ , que es precisamente el resultado de Wikipedia cuando

x^{0} = 0

$x^0 = 0$ .

A440

Te creo, pero la integral final (la de encima

r

$r$ ) diverge. ¿Dónde me he equivocado al llegar allí?

Respuestas (2)

¿Diverge la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon?

No aún no. Pero tenía la impresión de que usamos la renormalización para tratar con campos que interactúan, no algo tan simple como esto. ¿Estoy equivocado?
No creo que uno realmente necesite traer la renormalización aquí. La integral es tan divergente como $\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}=\delta(k)$ . El truco habitual es poner un pequeño factor de amortiguamiento $e^{-\eta |x|}, \eta>0$ en el integrando, que corta la divergencia, y al final toma el límite $\eta\rightarrow$ . En cierto sentido, esto es muy similar a la renormalización, aunque en un contexto mucho más simple.
Su primera ecuación es la representación de Fourier del propagador de Feynman. Esta distribución se evalúa en muchos textos sobre teoría cuántica de campos. El resultado (con referencias) se da en esta entrada de Wikipedia y consiste en una función delta apoyada en el cono de luz ( $x^2=0$ ) más las funciones de Bessel y Hankel. La renormalización del propagador no es necesaria en la teoría libre.
Su integral final es finita y está dada por la función de Bessel modificada $K_1$ como se presenta en la respuesta de Daniel. Configuración $x^0 = 0$ te lleva fuera del cono de luz, por lo que $x^2 = - \mathbf{x}^2 < 0$ . Tu integral entonces se convierte en $(-im/4\pi^2 |\mathbf{x}|) \, K_1 (m |\mathbf{x}|)$ , que es precisamente el resultado de Wikipedia cuando $x^0 = 0$ .
Te creo, pero la integral final (la de encima $r$ ) diverge. ¿Dónde me he equivocado al llegar allí?

una mente curiosa · Answer 1

Ha encontrado la razón por la que la mayoría de los QFT 4D necesitan una renormalización : ¡el propagador es (UV) divergente!

Para "curar" la teoría, necesita regularizar la teoría (hacer que las divergencias se expresen en algún parámetro simple como un límite de impulso), por ejemplo, mediante regularización dimensional , y luego proceder con algún esquema de renormalización. Que la teoría no interactúe significa que solo hay un número finito de cosas divergentes, el propio propagador, a diferencia de los diagramas infinitamente divergentes, lo que debería organizarse en órdenes de teoría de perturbaciones en una teoría interactiva, pero, como puede ver , no excluye la necesidad de renormalización como tal.

¡OK gracias! Me preocupaba que me estaba perdiendo algo importante. Si no es demasiado problema, ¿tiene alguna recomendación para una fuente introductoria que no esconda estos problemas debajo de la alfombra?

Daniel · Answer 2

De acuerdo con estas notas de clase (página 18 en el pdf) y algunas otras que he encontrado, la integral puede evaluarse y produce la función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 1 (ver Wikipedia ) .

La integral no parece converger, pero no estoy seguro si se puede decir que diverge, porque oscila (con amplitud creciente). La forma en que los físicos "resuelven" estas integrales es yendo al plano complejo, donde convergen y luego tomando el límite cuando la integral se acerca a la línea real. Lo sospechoso es que la integral no conmuta con el límite, pero la justificación para hacerlo es que funciona.

Otra forma sería notar

k_{0} (X metro) = \int_{0}^{\infty} \frac{d r porque (X r)}{\sqrt{{metro}^{2} + r^{2}}}

$K_0(xm)=\int_0^\infty\frac{dr\,\cos(xr)}{\sqrt{m^2+r^2}}$ Esa es otra función de Bessel (espero que podamos estar de acuerdo en que converge). Entonces

metro k_{1} (X metro) = - metro \partial_{X} k_{0} (X metro) = - \int_{0}^{\infty} \frac{d r r pecado (X r)}{\sqrt{{metro}^{2} + r^{2}}} .

$mK_1(xm)=-m\partial_xK_0(xm)=-\int_0^\infty \frac{dr\,r\,\sin(xr)}{\sqrt{m^2+r^2}}.$

La primera igualdad es una definición (creo), la segunda es un poco sospechosa, como se prometió (¿tal vez un matemático pueda comentar?).

Para grande $x$ , esto decae como $e^{-mx}$ (vea las notas de la conferencia a las que me referí), lo cual es algo tranquilizador. Pero (nuevamente parafraseando las notas de Tong), lo preocupante es que es en absoluto distinto de cero, porque, como dijiste, el intervalo es similar al espacio ("instantáneamente" depende del marco de referencia y, por lo tanto, no es una propiedad física, tampoco debería aunque se permita).

La resolución del enigma es que el requisito físico real es que los operadores evaluados en puntos separados por puntos similares al espacio deben conmutar, de modo que las mediciones en los dos puntos no pueden depender entre sí. Pero afortunadamente, incluso a partir de su expresión anterior, se puede ver que, debido a que $r$ es solo la magnitud de la separación espacial, el conmutador siempre es cero (pruébelo explícitamente si lo desea).

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una mente curiosa

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Meng Cheng

tom heinzl

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Respuestas (2)

una mente curiosa

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Daniel

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