Fijación del calibre de Coulomb y "normalizabilidad"

La puesta en marcha

Deje que los índices griegos se sumen 0 , 1 , … , d e índices latinos sobre 1 , 2 , … , d . Considere un vector potencial A m en R d , 1 definido para medir la transformación como

A m → A m ′ = A m + ∂ m θ
para alguna función de valor real θ en R d , 1 . La afirmación habitual sobre la fijación del calibre de Coulomb es que la condición
∂ i A i = 0
sirve para fijar el calibre en el sentido de que ∂ i A i ′ = 0 sólo si θ = 0 . El argumento habitual para esto (que yo sepa) es que ∂ i A i ′ = ∂ i A i + ∂ i ∂ i θ , por lo que las condiciones del indicador de Coulomb en A m y A m ′ dar ∂ i ∂ i θ = 0 , pero la única solución suficientemente suave y normalizable (¿Lesbegue-integrable?) a esta ecuación (de Laplace) en R d es θ ( t , X → ) = 0 para todos X → ∈ R d .

Mi pregunta

¿Cuál es la justificación física, si la hay, para las restricciones de suavidad y normalizabilidad en la función de calibre? θ ?

EDITAR 26/01/2013 Motivado por algunos de los comentarios, me gustaría agregar la siguiente pregunta: ¿hay ejemplos físicamente interesantes en los que la función de indicador θ no logra ser suave y/o normalizable? Se agradecerían referencias con más detalles. Lubos mencionó que quizás los monopolos o solitones podrían estar involucrados en tales casos; ¡Me gustaría saber más!

¡Salud!

¡Buena pregunta que es claramente más general que la fijación del calibre de Coulomb!
@MichaelBrown ¡Gracias! Sí, estoy aprendiendo algo de sugra en este momento, y este argumento que explota la desaparición de soluciones suaves y normalizables a la ecuación de Laplace parece surgir con bastante frecuencia, por ejemplo, cuando uno quiere eliminar ciertos componentes de campo de calibre armónico.
Suavidad de θ se necesita porque A m que es modificado por derivados de θ tiene que permanecer continuo - o suave, pero un requisito de nivel más débil de suavidad que para θ . La normalizabilidad solo significa que θ nunca diverge en la mayor parte del espacio y decrece lo suficientemente rápido en el infinito. Cuando no es así, habría que hablar de monopolos, instantons, etc., pero esas cosas no son un problema para la teoría de calibre U(1).
En cualquier caso, la "suavidad suficiente" y la "capacidad de normalización" son condiciones que a menudo se requieren en física y los físicos no dedican mucho tiempo a esas cosas: son condiciones físicas naturales por varias razones. Los matemáticos a menudo están obsesionados con estos detalles matemáticos (son necesarios para pruebas rigurosas), pero los físicos no. De hecho, los físicos realmente piensan exactamente de manera opuesta a lo que sugieres. Supondrían que las funciones en física son lo suficientemente suaves y se comportan bien, y si algunas de ellas no lo son, se preocuparían o se alertarían.
@joshphysics: para centrar las respuestas, ¿tal vez podría señalar un par de referencias en las que ha encontrado este uso de la palabra normalizable?
@LubošMotl Considero que los físicos generalmente no se preocupan por esas cosas, aunque ciertamente hay casos simples en los que la discontinuidad de las funciones físicamente relevantes es importante; considere la discontinuidad del campo eléctrico a través de una carga superficial, por ejemplo. Gracias por el punto sobre monopolos, instantons, etc.; Es interesante.
@Qmechanic Recientemente encontré el término "normalizable" en este contexto en el texto de supergravedad de D. Freedman / A. Van Proeyen (bastante nuevo, y bastante bueno, tengo que decir); (página 69, párrafo central).
@joshphysics: Lo encontré .
No estoy seguro de si es lo que buscas, pero re. su edición, aquí hay una referencia donde Yang habla sobre la imagen del paquete de monopolos U (1). Eq 6 da el potencial de calibre que solo se define en la región de transición (por lo tanto, falla la suavidad global / definición bien definida), ya que A m es una conexión en un paquete no trivial.
@twistor59 Gracias. Definitivamente voy a echar un vistazo a esto.
La pregunta (v3) es básicamente: ¿una órbita de calibre intersecta la condición de calibre de Coulomb como máximo una vez?

Respuestas (3)

Una respuesta rápida, si se me permite.

Necesitas θ ser suave ya que quieres derivarlo. Así que las matemáticas te imponen elegir θ suave.

Ahora el truco: elegir θ ser suave significa que siempre puedes imponer A para ser uniforme y utilizar varios parches relacionados entre sí mediante una transformación de calibre. Entonces, siempre debe discutir el potencial del vector uniforme... ¿o sí? Bueno, deberías, si quieres hacer las matemáticas apropiadas. Pero a los físicos por lo general no les importa eso y eligen un vector potencial singular para demostrar que la configuración de campo alberga un monopolo. El ejemplo prototipo es el vórtice asociado con el grupo / álgebra U(1) Lie. Véase, por ejemplo, el artículo de Dirac:

Dirac, PAM Singularidades cuantificadas en el campo electromagnético . proc. R. Soc. Londres. Ser. A 133 , 60–72 (1931)

donde el vector potencial es singular en el polo norte o sur. Tenga en cuenta que la teoría de la conexión en el haz de fibras aún no se había descubierto en ese momento. La imagen matemática correcta llegó tarde a la física, al menos que yo sepa. Aquí una hermosa lectura

Wu, TT & Yang, CN Concepto de factores de fase no integrables y formulación global de campos de norma. física Rev. D 12 , 3845–3857 (1975)

donde eligen dos parametrizaciones del círculo: una para el polo sur y otra para el polo norte, estando estas dos parametrizaciones del vector potencial relacionadas entre sí por una transformación de norma.

¿Qué hay de normalizable entonces? Bueno, nunca escuché sobre eso, y principalmente uno define todo en espacio(s) compacto(s), donde apenas tiene sentido imponer norma.

Significa que la ambigüedad del indicador prácticamente se elimina en el indicador Coulomb si se trata de un "buen" A (que es su propósito).

Sin embargo, no significa que solo se ocupe de la radiación (propagación de soluciones). Transversal A también es diferente de cero para una carga que se mueve uniformemente.

En realidad, no necesitas suavidad en general, solo necesitas un C 2 función de transición para que el laplaciano esté bien definido; sin eso, no tiene un campo de origen bien definido, lo que claramente va en contra del objetivo de introducir campos de calibre en primer lugar.

En un contexto clásico, la normalización está ahí para hacer que el calibre de Coulomb sea una fijación de calibre única en la situación físicamente realista donde las cargas están limitadas espacialmente. Hay al menos tres razones para motivar esta elección particular de fijación completa del calibre:

  1. Satisface la intuición física de la localidad de que si las fuentes están localizadas, entonces los campos de medida deberían caer naturalmente a cero en el infinito espacial.
  2. A menudo nos permite integrar por partes y descartar los términos superficiales, que es un truco que se usa constantemente en E&M.
  3. Proporciona, con mucho, la función de Green más simple para el campo de calibre, lo que lleva a la ecuación simple de tipo Coulomb φ ( X ) = ∫ d 3 X ′ ρ ( X ′ ) | X − X ′ | , y análogamente para el potencial vectorial y la corriente eléctrica.

Estoy menos familiarizado con la situación cuántica, pero sé que hay todo tipo de sutilezas con grandes transformaciones de calibre en la teoría de calibre no abeliano, instantones, etc. Aquí, la no unicidad del calibre de Coulomb requiere una consideración más cuidadosa del límite. condiciones.

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