¿Cuál es la base de la teoría de calibre?

PhotonicBoom ya ha brindado una buena descripción general de la idea básica detrás de las teorías de calibre, permítanme explicarlo un poco más con la abstracción:

Una teoría de calibre es una teoría que tiene una simetría de calibre local inducida por un grupo de calibre $G$, que debe ser un grupo de Lie . Ahora, ¿qué queremos decir con eso?

Dejar$\Sigma$sea ​​nuestro espacio-tiempo (de dimensión y signatura arbitrarias). Supongamos que sabemos que debe haber algún campo$A_\mu : \Sigma \rightarrow \mathfrak{g}$en$\Sigma$($\mathfrak{g}$es el álgebra de mentira de$G$, puede pensar en el potencial (vector) de la electrodinámica clásica (en adelante, ED) para esto. Pero, cada vez que miramos, podemos mirar solo localmente en este campo, por lo que tenemos algunos conjuntos abiertos$U_\alpha$con$\alpha$alguna cubierta de índice$\Sigma$, y en cada uno de estos$U_\alpha$, tenemos algo$(A_\alpha)_\mu$(por ejemplo, como solución a las ecuaciones de Maxwell). Obtenemos una definición global para el campo si lo requerimos.

$$A_\alpha = g_{\alpha\beta}A_\beta g_{\alpha\beta}^{-1} + \mathrm{i}g_{\alpha\beta}\mathrm{d}g_{\alpha\beta}^{-1} \; \text{with} \; g_{\alpha\beta} : U_\alpha \cap U_\beta \rightarrow G \text{ a smooth function}$$

para todos los pares de conjuntos$U_\alpha,U_\beta$que tienen intersección distinta de cero. Esto puede parecer muy extraño, pero considere el caso de ED, donde$G = \mathrm{U}(1)$: Allí, por$f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$, podemos escribir funciones como$g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}f(x)}$. Todo conmuta, y la fórmula anterior se reduce a

$$A_\alpha = A_\beta - \mathrm{d}f$$

¡que es precisamente la libertad de medida que tenemos en la ED clásica! Entonces, en este sentido, la ecuación de aspecto feo anterior es la generalización del caso familiar a grupos generales de simetría no abeliana.$G$. De hecho, los datos anteriores (los conjuntos$U_\alpha$y las funciones de transición$g_{\alpha\beta}$) definen lo que se denomina$G$-paquete principal . Ahora, en esto$G$-paquete principal, llamémoslo$P$, puede definir la noción de una transformación de indicador$g : P \rightarrow G$, y la transformación de$A$debajo de esto estará de nuevo$A \mapsto gAg^{-1} + g\mathrm{d}g^{-1}$(ignorando factores molestos de$\mathrm{i}$). ¿Qué tiene esto que ver con nuestra idea intuitiva de calibre? Bien,$P$localmente parece$U_\alpha \times G$, donde dejar un elemento de grupo$h \in G$actuar sobre un punto$(x,k)$solo significa$(x,k)h := (x,kh)$, y hacer el trafo de calibre es solo$(x,k) \mapsto (x,kg(x,k))$. Entonces, todo lo que hace el trafo es cambiar los elementos del grupo por encima de un punto$x \in \Sigma$alrededor, o, en otras palabras, elige un nuevo punto en lo que parece$\{x\} \times G$ser la identidad del grupo. Esta es (en un sentido vago) la generalización de la libertad de establecer el "cero" para algún potencial del que habló PhotonicBoom.

Ahora, tener esta extraña simetría está bien, pero ¿cómo obtenemos cosas que no cambian bajo la transformación de calibre? En este momento,$A$está cambiando, los puntos en$P$están cambiando, ¿no se supone que algo es invariante de calibre aquí?

Defina la derivada covariante frente a la conexión $A$como

$$\mathrm{d}_A f := \mathrm{d}f + A \wedge f$$

(toda derivada covariante de un campo transformándose en una representación de$G$también se transformará en esa representación, pero ya he escrito un muro de texto aquí, por lo que no entraré en campos de materia, la palabra de moda es paquetes de vectores asociados ) y definir la curvatura o la intensidad del campo

$$F := \mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A \wedge A$$

Ahora, por cálculo directo, se puede demostrar que$F$se transforma como$F \mapsto gFg^{-1}$. En ED, todo conmuta, y ya tiene una cantidad invariable de indicador (ya que$gFg^{-1} = F$allí), lo cual es bueno, ya que la intensidad del campo, como cantidad física, ¡no debería cambiar bajo la transformación de calibre! En general$G$, que en todos los casos de interés se pueden escribir como grupos de matrices, simplemente tome la traza.$\mathrm{tr}(gFg^{-1}) = \mathrm{tr}(F)$es invariante, ya que la traza es invariante bajo permutaciones cíclicas.

¡Y hemos terminado! La acción de esta teoría pura de Yang-Mills es

$$S[A] := \frac{1}{4e^2}\int_\Sigma \mathrm{Tr}(F \wedge \star F)$$

con$e$alguna constante de acoplamiento. No estoy muy seguro de si eso está refinando su intuición como esperaba, pero así es (siempre que no haya cometido algún error técnico importante en alguna parte, por supuesto, se agradecen las sugerencias).

Básicamente tienes razón. Una teoría de calibre es una teoría de campo que deja las ecuaciones de movimiento invariantes bajo transformaciones locales (distinción importante señalada por @joshphysics) de las coordenadas. Brinda a los físicos la capacidad de introducir grados arbitrarios de libertad para jugar y simplificar problemas, siempre que las cantidades físicas sigan siendo las mismas.

Por ejemplo, en Electrodinámica, puede redefinir el potencial siempre que el gradiente permanezca igual. el campo electrico$E(r)$(nuestra cantidad física) viene dada por:

$$E = -\nabla\phi$$

Pero$\phi$se puede transformar sumando un término constante$k$que dará:

$$\phi' \rightarrow \phi + k$$

Sustituyendo esto en la ecuación anterior obtenemos:

$$E = -\nabla(\phi + k) = -\nabla \phi$$ que corresponde a la misma cantidad física que la anterior (en este caso, el campo eléctrico).

Este es solo un ejemplo. Otro ejemplo, que probablemente aclara la utilidad de esta teoría, es el potencial gravitacional$V = mgh$. Podemos elegir que el origen esté en cualquier lugar ya que solo nos interesa la diferencia de energía potencial , y esto simplifica mucho los cálculos (no te tiene que importar el origen, solo la distancia entre los puntos que estás investigando).

En la teoría cuántica de campos, las transformaciones de calibre conducen a cantidades conservadas a través del teorema de Noether, que dice que para cada simetría continua existe una cantidad conservada. Un grupo de transformaciones de calibre independientes da lugar a campos de calibre. Cada generador del grupo de calibre corresponde a un campo de calibre que describe los bosones de calibre .

Otra versión de las teorías de calibre, para agregar a la respuesta de ACuriousMind : además de agregar grados de libertad que permiten un mayor margen de maniobra para aplicar una clase más amplia de técnicas de solución, una teoría de calibre es una forma para que un teórico codifique simetrías observadas experimentalmente en la teoría de un candidato. Por ejemplo, podría saber por la literatura experimental que cierto tipo de interacción conserva algunas cantidades continuas medidas experimentalmente, llamémoslas "blooblehood", "twangleness" y "thargledom" para enfatizar la generalidad de la idea (supongo que estos fueron estudiados por los Thargoides bajo su líder, el físico teórico Gort). Una forma de hacer que una teoría candidata conserve la blooblehood, twangleness y thargledom en sus descripciones de la interacción es convertirla en una teoría descrita por un Lagrangiano y luego configurar ese Lagrangiano para que sea invariante con respecto a un grupo de Lie.$\mathfrak{G}$de transformaciones en sus coordenadas. El teorema de Noether te dice que habrá una cantidad conservada para cada miembro base del álgebra de Lie del grupo de Lie.$\mathfrak{g}$. Este grupo de Lie es entonces el grupo de estructura (calibre) para el haz de fibras formado con$\Sigma$como el espacio base (en la notación de ACuriousMind y los campos "medidos" son las fibras, como en la respuesta de ACuriousMind . Así que postulamos un Lagrangiano que tiene un grupo de simetría de dimensión 3 para$\mathfrak{G}$.

Otras respuestas en las que hablo de cosas similares están aquí y aquí . La última respuesta tiene lo que considero excelentes referencias para los no especialistas, y fue así como comencé a sentir que entendía esas cosas (aunque todavía bastante vagamente).

Por supuesto, esta no es la única forma en que se pueden conservar las cosas, por lo que las cantidades conservadas no prueban que la descripción tenga que ser una teoría de medida. Es solo un tipo de enfoque de chupar y ver que hace una analogía con la primera teoría de calibre (la electrodinámica de Maxwell) y otros tipos de teorías físicas: esperas poder hacer algunas predicciones falsificables con tu Lagrangian para que un experimentador pueda ver si estás en el buen camino. Lo bueno de una teoría de calibre es que la conservación se mantiene a lo largo de transformaciones suaves que pasan a través de un camino suave en el espacio-tiempo, por lo que no estamos hablando de saltar discontinuamente de un punto a otro desplazado a una distancia distinta de cero y nuestra teoría permanece "local": Richard Feynman habla de esta falta de unicidad de una teoría conservadora cuando deriva Poynting'el comienzo del capítulo 27 del Vol II

Aparte, un uso muy interesante y altamente inusual para las teorías de norma está en el campo de la teoría de control anholonómico de sistemas dinámicos. Un marco excelente para pensar en la forma en que un gato que cae se voltea mientras conserva el momento angular es el siguiente: el gato puede describirse mediante una variedad$\Sigma$(para usar la notación de ACuriousMind ) llamado "espacio de formas de gato" y el gato puede deformar su forma para moverse suavemente entre los puntos de la variedad. Estas formas se describen en un marco de coordenadas que está fijo con respecto a los ejes montados en el gato que da vueltas (es decir, cae y gira). En el lenguaje de los haces de fibras, el espacio de las formas es el espacio base$\Sigma$, la fibra es el espacio$SO(3)$(o$SO(2)\cong U(1)$) de las orientaciones del gato en el espacio. La topología del paquete se define por la noción o conexión de "transporte paralelo" que se obtiene al calcular el cambio en la orientación del gato que surge, debido a la conservación del momento angular, del seguimiento del gato de un segmento por partes.$C^1$camino a través del espacio de las formas. El grupo de estructura (gauge) es un subgrupo de Lie conectado de$SO(3)$actuando sobre la fibra$SO(3)$sí mismo.

Digo más sobre el gato que cae en mi artículo:

"De los gatos y su reflejo de enderezamiento más maravilloso" en mi sitio web Wet Savanna Animals.

El trabajo seminal de Richard Montgomery es:

Richard Montgomery, "Teoría de calibre del gato que cae", en MJ Enos, "Dinámica y control de sistemas mecánicos", American Mathematical Society, págs. 193–218, 1993

Escribí mi artículo mientras leía y comprendía las ideas de Montgomery. Así que PUEDE encontrar mi artículo más suave, pero diferentes tipos de exposición técnica funcionan mejor para diferentes mentalidades.