Garantizar el estado del indicador Lorenz en la solución Green Function

Question

Garantizar el estado del indicador Lorenz en la solución Green Function

indicador
Física
potencial
teoría de calibre
ecuaciones de maxwell
electrodinámica-clásica

CDCM

En el Lorenz Gauge, podemos escribir las ecuaciones de Maxwell como:

\begin{matrix} (1) & ◻ A^{β} = m_{0} j^{β} . \end{matrix}

$\tag1 \Box A^\beta=\mu_0j^\beta.$

Luego pasamos a resolver esto tratando cada componente $A^\beta$ como una solución independiente de la ecuación de onda escalar con fuente, y sumando funciones de Green. Eso es:

\begin{matrix} (2) & A^{β} = m_{0} \int \frac{1}{4 π | r - r^{'} |} j^{β} (C t - | r - r^{'} |, r^{'}) d^{3} r^{'} . \end{matrix}

$\tag2 A^\beta=\mu_0\int \frac{1}{4\pi |r-r'|}j^\beta(ct-|r-r'|, r')\ \mathrm d^{3}r'.$

Mi pregunta es, ¿cómo nos hemos asegurado de que se cumpla la condición del indicador Lorenz?

seguro de escribir $(1)$ , Nosotros necesitabamos $\partial_\mu A^\mu = 0$ , pero ¿cómo hemos asegurado nuestra solución $(2)$ cumple esta condición?

AccidentalFourierTransformar

Pista: que es

\partial_{μ} j^{μ}

$\partial_\mu j^\mu$ ? [también, es más fácil si escribes

(2)

$(2)$ en términos de

d t^{'} d^{3} r^{'}

$\mathrm dt'\mathrm d^3r'$ ]

AccidentalFourierTransformar

Pensé que todavía estabas luchando, así que decidí publicar una pista más detallada. Aunque me alegro de que pudieras resolverlo por tu cuenta :-)

Respuestas (1)

Garantizar el estado del indicador Lorenz en la solución Green Function

Pista: que es $\partial_\mu j^\mu$ ? [también, es más fácil si escribes $(2)$ en términos de $\mathrm dt'\mathrm d^3r'$ ]
Pensé que todavía estabas luchando, así que decidí publicar una pista más detallada. Aunque me alegro de que pudieras resolverlo por tu cuenta :-)

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Bosquejo del argumento:

Escribe tu ecuación en la forma
$A^{m} (X) = \int_{R^{4}} GRAMO (X - X^{'}) j^{m} (X^{'}) d X^{'}$ $A^\mu(x)=\int_{\mathbb R^4} G(x-x')j^\mu(x')\ \mathrm dx'$ dónde $G$ es uno de los propagadores de la ecuación de onda. Por ejemplo, $G_\mathrm{ret}(x)\propto\delta(x^2)\Theta(x^0)$ que, después de la integración sobre $\mathrm dx^0$ , conduce a su segunda fórmula.
Muestra esa
$\partial_{m} A^{m} (X) = \int_{R^{4}} GRAMO (X - X^{'}) \partial_{m}^{'} j^{m} (X^{'}) d X^{'}$ $\partial_\mu A^\mu(x)=\int_{\mathbb R^4} G(x-x')\partial'_\mu j^\mu(x')\,\mathrm dx'$ donde hemos utilizado el hecho de que $G$ depende solo de la diferencia $x-x'$ , y lo hemos integrado por partes. Aquí se debería argumentar que los términos de frontera desaparecen debido a la cinemática de $G$ .
Argumente por la conservación actual que se cumple la condición de calibre de Lorenz. Cabe señalar que, independientemente del calibre elegido,
$\partial_{m} F^{m v} = j^{v}$ $\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ y por lo tanto, debido a la simetría oblicua de $F$ , se debe conservar la corriente , como condición de consistencia para que la PDE anterior esté bien planteada.

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