¿Existen superficies en las que coincidan relojes en dos marcos inerciales diferentes?

Esta es una pregunta de tarea en la que he estado trabajando y me ha estado molestando bastante porque no estoy seguro de entender la esencia del problema. Aquí lo tienes.

Imagina un marco inercial S y un segundo marco inercial S ′ moviéndose en relación con S con una velocidad constante v a lo largo de sólo el X -eje. ¿Hay una superficie en la que los relojes en S y S ′ ¿aceptar? ¿Qué pasa con una superficie en la que el X -coordenadas de acuerdo?

Sé que en general, veremos una diferencia entre los dos relojes debido a la dilatación del tiempo, pero el problema pregunta si hay una superficie especial en la que ambos coincidan.

Mi reacción inicial fue que no, esto no es posible, ya que necesitaríamos γ = 1 para que no se produzca la dilatación del tiempo. Sin embargo, esto implicaría que los marcos son esencialmente los mismos, así que no creo que cuente. También tuve la idea de tal vez sincronizar los relojes en una esfera, pero no serían dos marcos inerciales, ya que la velocidad no es constante. Como tal, mi pensamiento sería que no hay una superficie en la que esto pueda suceder, pero no sé si me estoy perdiendo algo.

Para la parte de la pregunta que trata sobre el X -coordenadas, una vez más siento que estamos atrapados sin una respuesta, ya que la pregunta requiere que uno se mueva a lo largo del X -eje, por lo que no es posible para el espacio X -la coordenada debe ser la misma en ambos marcos.

Cualquier sugerencia para trabajar en una respuesta aquí sería apreciada. Simplemente estoy buscando un empujón en la dirección correcta.

Actualizar:

Quería incluir un poco más de lo que he hecho sobre el problema. Creo que la pregunta es si podemos o no tener t ′ = t o X ′ = X , y qué superficies implican.

Para el primer caso, si t ′ = t , entonces usando las ecuaciones de transformación de Lorentz nos da:

X = C t γ − 1 γ + 1 .

Del mismo modo, si X ′ = X , entonces obtenemos:

X = C t γ + 1 γ − 1 .

Creo que solo podemos permitir el primer caso, ya que el segundo implica que X > C t , que es superluminal. Creo que esta es la respuesta correcta, aunque agradecería si alguien tiene más ideas al respecto.

Planos normales a la velocidad υ son superficies de simultaneidad común: dos eventos A,B que ocurren simultáneamente en S en un plano normal son simultáneos en S ′ y viceversa.

Respuestas (1)

Pista:

γ = 1 1 − v 2 C 2
es una función par por lo que − v da lo mismo γ como v .

Editar: la sugerencia no aclaró ninguna confusión, así que daré lo que creo que es la respuesta. El truco es que tienes que introducir un tercer marco de referencia. Desde γ ≥ 1 uno de los marcos siempre verá el otro una vez dilatado. Si introduce un nuevo marco de referencia, es posible que ambos marcos se dilaten en el tiempo en la misma cantidad que el tercer marco. En una dimensión la solución es simple: toma tu tercer cuadro, llamémoslo S 0 , por estar en medio de los orígenes de S y S ′ . De esa manera S y S ′ se moverá a una velocidad de ± 1 2 v relativo a S 0 . Eso significa γ es necesariamente el mismo.

Tracé el caso unidimensional en un diagrama de espacio-tiempo de la S 0 perspectiva. las coordenadas son ( X , C t ) . Las líneas gruesas rojas/azules son los observadores. S y S ′ y las líneas rojas/azules normales son las líneas de tiempo constante/coordenada x constante. Los observadores se mueven a 0.15   C .

Puedes ver en el diagrama que los relojes coinciden en este marco. Cuando han pasado dos unidades de tiempo en el S marco dos unidades de tiempo también han pasado en el S ′ marco. En el S 0 marco estos eventos son simultáneos porque están en una línea horizontal (la línea morada). Por su parte han pasado 2.023 unidades en el S 0 marco, porque la línea morada se cruza en 2.023.

Si observas el caso tridimensional, ¿qué puntos también tendrían esta propiedad de dilatación temporal simétrica?

diagrama espacio-tiempo

Sí definitivamente. Pero, ¿cómo nos da esto algún tipo de superficie? Además, ¿no daría esto todavía un efecto de dilatación del tiempo, ya que γ ≠ 1 ? Ese es realmente el problema que estoy teniendo. Entiendo que hay formas de dejar invariable el factor de Lorentz, pero no estoy seguro de cómo esto puede ayudarme a encontrar una superficie. Si hubiera dos marcos moviéndose con respecto a S , diría que tal vez funcionaría algo como un toro, con cada marco inercial adicional moviéndose con velocidad v y − v , como sugirió, pero no sé si eso está dentro del alcance de la pregunta.
Pero los relojes no concuerdan entre sí en el marco de reposo de ninguno de los dos relojes.
Gracias por la edición y la aclaración. Definitivamente veo lo que estás diciendo. Sin embargo, creo que la pregunta es más sobre si podemos construir una superficie en la que t ′ = t o X ′ = X , no si podemos encontrar un tercer marco con estas propiedades. Si ese fuera el caso, estás en lo correcto. Además, como dijo @Chris, en el marco de cualquiera de los relojes, no creo que la hora sea la misma para ambos. Solo cuando nos movemos a un marco adecuado (como lo construiste), se produce la equivalencia. En cuanto a su pregunta sobre el caso tridimensional, voy a tener que pensar un poco.
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