Transformaciones activas versus pasivas

Lo que escribiste es lo mismo que escribe Peskin. Para ver esto, observe que si escribimos la posición "transformada"$x'$como$x' = \Lambda x$, entonces tu primera ecuación se puede escribir como

$\phi'(\Lambda x) = \phi(x)$

pero esto equivale a

$\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$

que es lo mismo que la primera ecuación de Peskin que escribiste. Tu segunda ecuación y la segunda ecuación de Peskin son equivalentes. Puedes mostrar esto usando la definición de$x'$más la regla de la cadena para diferenciación parcial. Puedo agregar detalles si lo desea, pero creo que es un buen ejercicio para averiguarlo.

Activo versus Pasivo

La convención en la que definimos$\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$es la convención activa porque el valor del campo transformado en el punto transformado es el mismo que el valor del campo no transformado en el punto no transformado, por lo que es como si hubiéramos mantenido nuestro sistema de coordenadas fijo y transformado la configuración del campo. Para tener intuición para esto, imagine un campo de temperatura$T$en un laboratorio 2D, e imagine mantener el laboratorio fijo, pero girando todo el campo de temperatura en sentido contrario a las agujas del reloj en una rotación$R$para obtener un campo de temperatura$T'$. Luego (dibujar una imagen ayuda) el nuevo campo de temperatura evaluado en un punto girado en sentido contrario a las agujas del reloj$R x$debe ser el mismo que el antiguo campo de temperatura evaluado en el punto no girado$x$, a saber$T'(R x) = T(x)$que es lo mismo que$T'(x) = T(R^{-1} x)$

La convención pasiva es aquella en la que definimos$\phi'(x) = \phi(\Lambda x)$y tiene la interpretación de transformar las coordenadas manteniendo fija la configuración del campo. Intenta usar la analogía de la temperatura para entender esto.

Hay mucha confusión en la literatura con respecto a la llamada interpretación activa y pasiva de las transformaciones cuando se trata de campos escalares. Sin embargo, esta terminología y la correspondiente dicotomía tiene su origen en las aplicaciones del álgebra lineal (por ejemplo, la visión artificial) donde es más relevante y los conceptos son más claros. El artículo de Wikipedia sobre este tema deja este punto muy claro.

Transformación de espacios vectoriales:

Considere una transformación espacial$T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$. Esto se puede interpretar para transformar un vector$v = v_1 e_x + v_2 e_y + v_3 e_z \in \mathbb R^3$mantener la base fija o transformar la base inicial$\{e_x,e_y,e_z\}$de$\mathbb R^3$manteniendo el vector$v$fijado. Estas dos líneas de interpretación de$T$ir por dos nombres.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{vector } v \text{ rotates} \left(T: v \mapsto v'=Tv \equiv v_1' e_x + v_2' e_y + v_3' e_z\right), \\ & && \text{basis }\{e_x,e_y,e_z\} \text{ remains unchanged}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{vector } v \text{ stays put}, \\ & && \text{basis rotates } \left(\{e_x,e_y,e_z\}\mapsto \{T^{-1}e_x, T^{-1}e_y, T^{-1}e_z\}\right). \end{aligned}$$

De la primera interpretación$v = T^{-1}v'$, resulta que$v = v_1' \tilde e_x + v_2' \tilde e_y + v_3' \tilde e_z$dónde$\tilde e_x := T^{-1} e_x$,$\tilde e_y := T^{-1} e_y$y$\tilde e_z := T^{-1} e_z$son los vectores base transformados de la segunda interpretación. Así, el vector original$v$en la base rotada$\{\tilde e_x, \tilde e_y, \tilde e_z\}$(en el punto de vista pasivo) tiene exactamente las mismas coordenadas$(v_1',v_2',v_3')$como el vector rotado$v'$en la base original (el punto de vista activo).

Transformación de campos escalares

Esta dicotomía no es muy útil cuando se trata de campos escalares y, por lo tanto, la literatura carece de una definición canónica para estos conceptos. Una forma de pensar en ellos podría ser como el usuario @ joshphysicsha escrito. Aquí hay otra forma que es igualmente popular. Un campo escalar es un mapa de valor real$\phi : \Omega \subset \mathfrak{M}_4 \to \mathbb R$. Considere una transformación$T:\Omega \to \Omega' \subseteq \Omega$del dominio del espacio-tiempo subyacente. Ahora, uno puede imaginar un campo rotado$\phi_A := \phi \circ T^{-1}: \Omega' \to \mathbb R$o un campo de rotación opuesta$\phi_P := \phi \circ T: \Omega \to \mathbb R$para visualizar esta transformación. Los dos nuevos campos se pueden interpretar de la siguiente manera.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{field configuration } \phi\big|_{\Omega'} : \Omega' \to \mathbb R \text{ has morphed into } \phi_A : \Omega' \to \mathbb R,\\ & && \text{leaving the spacetime domain } \Omega' \text{untouched}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{field configuration } \phi_P \text{ is simply } \phi \text{ acting on a rotated domain},\\ & && \text{which is to say, } \phi_P(x) = \phi(T(x)) \text{ where } T:\Omega \to \Omega', x \mapsto x'. \end{aligned}$$

Sin embargo, a diferencia de lo joshphysicsque parece sugerir la respuesta de @ ,$\phi_A$(o$\phi'$) no define necesariamente la convención activa. Uno podría muy bien ver$\phi_A$desde el punto de vista pasivo:$\phi_A$podría ser simplemente$\phi$actuando sobre un dominio de rotación opuesta, es decir,$\phi_A(x') = \phi(T^{-1}x')$dónde$T^{-1}: \Omega' \to \Omega, x' \mapsto T^{-1}x'$. Similarmente,$\phi_P$podría interpretarse según la perspectiva activa: aquí, campo$\phi: \Omega \to \mathbb R$se ha transformado en un nuevo campo$\phi_P = \phi \circ T : \Omega \to \mathbb R$, dejando el dominio del espacio-tiempo$\Omega$intacto

Esto debería indicarle que cualquier redefinición de campo obtenida a partir de una transformación del espacio-tiempo se puede ver tanto en interpretaciones activas como pasivas, y tales nombres/interpretaciones vacíos no tienen ningún valor físico o matemático. Lo que realmente debería importarte es cómo has definido exactamente tus nuevos campos y luego todo lo demás debería seguir, independientemente de cuál sea tu imagen mental.

La afirmación en Peskin y Schroeder es que si haces una transformación activa

$$\phi(x)\rightarrow \phi'(x) \doteq \phi(\Lambda^{-1}(x)) \ \ (1)$$ entonces el gradiente $\partial_{\mu}\phi$se transforma como $$\partial_{\mu}\phi(x) \rightarrow (\Lambda^{-1})^{\nu}_{\mu}(\partial_{\nu}\phi)(\Lambda^{-1}x)$$ He aquí un ejemplo explícito: trabajar en $\mathbb{R}^2$con coordenadas $x^{\mu} = (\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix})$

Considere el campo escalar

$$\phi(x^{\mu}) = x^2 + xy$$ y la transformación activa de (x,y) representada por la matriz $$\Lambda^{\mu}_{\ \ \nu} = (\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix})$$ esto representa una rotación por $\frac{\pi}{2}$, dónde $\mu$etiqueta la fila y $\nu$etiqueta la columna. Los vectores, con índices superiores, sobre los que actúa se representarían como vectores columna $x^{\mu} = (\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix})$. Su inversa está representada por la matriz $$({\Lambda}^{-1})^{\mu}_{\ \ \ \nu} = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix})$$ El nuevo campo después de esta transformación activa (1) es $$\phi'(x^{\mu})=\phi(y, -x) = y^2-xy$$ Su gradiente es $$\partial_\mu \phi' = (-y, \ 2y-x) \ \ (2)$$ Tenga en cuenta que, desde $\partial_{\mu}\phi$tiene un índice más bajo lo representamos por un vector de fila .

Ahora veamos qué obtendríamos si aplicamos la receta de Peskin y Schroeder para derivar el gradiente del nuevo campo:

Empezamos con el degradado del campo antiguo.

$$(\partial_{\mu}\phi)(x^{\nu})= (2x+y, \ \ x)$$ A continuación, en lugar de evaluarlo en $(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix})$, evaluarlo en $(\Lambda^{-1})^{\mu}_{\nu}x^{\nu} = (\begin{smallmatrix} y \\ -x \end{smallmatrix})$, donación $$(\partial_{\mu}\phi)((\Lambda^{-1})x)=( 2y-x, \ \ y )$$ Finalmente aplicamos un $(\Lambda)^{-1}$rotación al vector fila $(2y-x, \ y )$donación $$(\Lambda^{-1})^{\nu}_{\mu}(\partial_{\nu}\phi)(\Lambda^{-1}x) =( -y, \ 2y-x )$$ Tenga en cuenta que, en la combinación de los $(\Lambda^{-1})^{\nu}_{\ \ \mu}$y $\partial_{\nu}\phi$factores, ya que $\partial_{\nu}\phi$tiene un índice más bajo, y la contracción es con el índice de $\Lambda^{-1}$que representa las columnas , la representación matricial de esta operación en nuestro caso es $$(2y-x, \ y )(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix})$$ Tenga en cuenta que en la primera versión de esta respuesta cometí el error de representar este paso como una multiplicación de matrices con un vector de columna. (Gracias @joshphysics por señalar esto)