¿Cómo se definen los sistemas de coordenadas espaciales en física?

Grothendieck preguntó una vez "¿Qué es un metro?" ( https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/letter_from_grothendieck.html ). Esta pregunta que suena inocente me hizo pensar en cómo se definen los sistemas de coordenadas en la física.

Cómo se definen los sistemas de coordenadas en física, por ejemplo, en relatividad especial donde se supone que se da el sistema de coordenadas.

Probé una posibilidad y me preguntaba si hay otras formas matemáticas de definir un sistema de coordenadas. (Gracias por tu ayuda):

Aquí hay un posible

Para la definición de una base afín física$B = (v_1 = p_1-p_0, v_2 = p_2-p_0, v_3=p_3-p_0)$del espacio espacial$\mathbb{R}^3$, tiene que haber una base definida a priori$\hat{B}$, de modo que$B$puede referirse a esta base$\hat{B}$.

Observador$A$en el punto$p=p_0$puede hacer lo siguiente:

• Elige puntos cercanos$p_1,p_2,p_3$en el espacio espacial, sin realmente dar a esos puntos ninguna coordenada a priori y definir "vectores afines": $$v_1 = p_1 p_0, v_2 = p_2 p_0, v_3 = p_3 p_0$$
• Es posible para el observador$A$para medir la distancia entre dos puntos (cercanos): $$d_{ij} = d(p_i,p_j), 0\le i,j \le 3$$
• Oberser$A$entonces puede calcular la matriz de gramos: $$G = (g_{ij}), g_{ij} = \frac{1}{2}(d_{0i}^2+d_{0j}^2-d_{ij}^2), 1\le i,j \le 3$$ asumimos por el criterio de Schönberg, que esta matriz es una matriz definida positiva, y por lo tanto especialmente una matriz de Gram.
• Observador$A$entonces puede hacer la descomposición de Cholesky de la matriz de Gram: $$G = C C^T, C = (x_1,x_2,x_3)$$
• Observador$A$puede hacer el procedimiento de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal:$e_1,e_2,e_3$dado$x_1,x_2,x_3$.
• Por lo tanto, un observador a posteriori$A$puede elegir los puntos$p_i$de una manera que $$G=\mathbf{1}$$ , desde$\left< e_i,e_j \right> = \delta_{ij},$dónde$\delta$es el kronecker$\delta$.

Observador$B$en el punto$q$puede hacer el mismo procedimiento, para obtener la base ortonormal$\mathbf{1} = G_q = C_q C_q^T$.

Por la libertad unitaria de raíces cuadradas , existe una matriz ortogonal$O_{pq}$tal que$C_p O_{pq} = C_q$por eso:

$$O_{pq}=C_q C_p^{-1} = C_q C_p^T$$

De esta última ecuación obtenemos:

• $O_{pq}^T = O_{pq}^{-1} = C_p C_q^{-1}= O_{qp}$
• $O_{pp} = \mathbf{1}$
• $O_{pr} O_{rq} = O_{pq}$

Configuración$w_{pq} := \log(O_{pq})$obtenemos

• $w_{pq} = -w_{qp}$
• $w_{pp} = \mathbf{0}$
• $w_{pr} + w_{rq} = w_{pq}$

Por lo tanto, uno podría definir los vectores afines entre los puntos$p,q$como$w_{pq}$. la distancia entre$p,q$podría darse como:

$$d(p,q) = |w_{pq}|_F = |\log(O_{pq})|_F = |\log(C_q C_p^T)|_F$$

dónde$|.|_F$denota la norma de Frobenius.

También se preguntó aquí en caso de que no sea apropiado para este foro: https://mathoverflow.net/questions/409500/how-are-spatial-coordinate-systems-in-physics-defined