Posible error en la dinámica clásica de partículas y sistemas de Marion y Thornton

así que estaba repasando mis notas sobre mecánica clásica y comencé a revisar las matrices de rotación, que es el primer tema con el que comienza el libro. En la página 3

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La matriz de rotación asociada con 1.2a y 1.2b es

( porque ⁡ θ pecado ⁡ θ − pecado ⁡ θ porque ⁡ θ )

pero cuando trato de derivar la matriz siguiendo los vectores unitarios i ^ y j ^

yo obtengo

( porque ⁡ θ − pecado ⁡ θ pecado ⁡ θ porque ⁡ θ )

El que deriva del libro sería la rotación en el sentido de las agujas del reloj, y el que obtuve sería para la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj, ¿correcto?

Hay dos puntos de vista: El punto PAG se gira en el sentido de las agujas del reloj y el sistema de coordenadas permanece fijo o el sistema de coordenadas se gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y el punto PAG permanece fijo.
Sí, recién me estaba dando cuenta de eso. Creo que lo que hace el libro es rotar el sistema de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj, pero luego mide las longitudes en el nuevo sistema de coordenadas. Lo que significa que efectivamente cambiaron de base mientras la matriz que estaba calculando estaba en la base anterior. ¿Es correcto pensarlo de esta manera?
Sí, precisamente.
En dos dimensiones podrías resolver tus problemas con números complejos. Supongamos que desea rotar el punto PAG : z = X + i y por un ángulo θ a una nueva posición PAG ′ : z ′ = X ′ + i y ′ . No te preocupes si en sentido horario o antihorario, el signo de θ se preocupa por esto.
(01) z ′ = mi i θ z ⟹ X ′ + i y ′ = ( porque ⁡ θ + i pecado ⁡ θ ) ( X + i y ) = ( X porque ⁡ θ − y pecado ⁡ θ ) + i ( X pecado ⁡ θ + y porque ⁡ θ )
...entonces
(02) [ X ′ y ′ ] = [ porque ⁡ θ − pecado ⁡ θ pecado ⁡ θ − porque ⁡ θ ] [ X y ]
La matriz en (02) es de rotación. Pero mirando desde el otro punto de vista, es la matriz de transformación de coordenadas bajo la rotación del sistema de coordenadas en un ángulo. ϕ = − θ manteniendo el punto PAG fijado
(03) [ X ′ y ′ ] = [ − porque ⁡ ϕ pecado ⁡ ϕ − pecado ⁡ ϕ porque ⁡ ϕ ] [ X y ]
Muchas gracias. Esto me ha aclarado mucho.
Puede rotar el sistema de coordenadas o el vector. Estas dos opciones se denominan rotaciones pasiva y activa, respectivamente. Ver Wikipedia y Goldstein, Mecánica Clásica.

Respuestas (1)

Puede construir la matriz de rotación encontrando los cosenos directores definidos como λ i , j = porque ⁡ ( X i ′ , X j ) entonces:

λ 11 = porque ⁡ ( X 1 ′ , X 1 ) = porque ⁡ θ

λ 12 = porque ⁡ ( X 1 ′ , X 2 ) = porque ⁡ ( π 2 − θ ) = pecado ⁡ θ

λ 21 = porque ⁡ ( X 2 ′ , X 1 ) = porque ⁡ ( π 2 + θ ) = − pecado ⁡ θ

λ 22 = porque ⁡ ( X 2 ′ , X 2 ) = porque ⁡ θ

El libro tiene razón.

Lo siento, pero tu publicación no explica nada. Mi preocupación es que el libro presenta una matriz de rotación que parece representar la rotación en el sentido de las agujas del reloj, mientras que lo que ilustran es la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj; es esto incorrecto?
Oh, el problema del libro representa una rotación de ( X 1 ′ , X 2 ′ ) sistema para ( X 1 , X 2 ) sistema.
Tenga en cuenta que su matriz de rotación, que es la inversa de la matriz del libro, representa la rotación de ( X 1 , X 2 ) a ( X 1 ′ , X 2 ′ ) , tal vez esa es su confusión.
Correcto, voy de ( X 1 , X 2 ) a ( X 1 ′ , X 2 ′ ) Entonces, ¿no debería ser esa transformación? ( X 1 ′ X 2 ′ ) = ( porque ⁡ θ − pecado ⁡ θ pecado ⁡ θ porque ⁡ θ ) ( X 1 X 2 ) ?
Para hacer lo que el libro está haciendo, ¿no sería ( X 1 X 2 ) = ( porque ⁡ θ pecado ⁡ θ − pecado ⁡ θ porque ⁡ θ ) ( X 1 ′ X 2 ′ ) ?
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