Significado de la invariancia general de coordenadas: distinguir observadores inerciales y no inerciales

La invariancia general de coordenadas no significa que no pueda distinguir los marcos inerciales de los no inerciales: puede hacerlo. Lo que significa es que puedes escribir las leyes de la física de tal manera que tengan la misma forma en cualquier buen sistema de coordenadas, donde 'bueno' significa algo así como 'relacionado con otro buen sistema de coordenadas por una transformación diferenciable no singular' (Me doy cuenta de que esta definición parece circular: en realidad no lo es, ya que puede arrancar todo con algunos conjuntos de coordenadas que se sabe que son buenos cuando define su variedad).

Entonces, por ejemplo, imagine un sistema de coordenadas cartesianas giratorias (para la mecánica newtoniana ordinaria en el espacio plano). Bueno, las leyes de la física parecen divertidas aquí: las cosas no se mueven en línea recta en ausencia de fuerzas según el sistema de coordenadas, etc. Pero podemos introducir varios factores fudge 'fuerzas ficticias' y así sucesivamente y hacer que las cosas tengan sentido.

Ahora imagine un sistema de coordenadas (nuevamente para la mecánica newtoniana) anclado en un automóvil que se conduce como un loco. Las cosas ahora son aún peores porque el movimiento no es regular: los factores de fudge ahora son bastante complicados. Pero resulta que, con un poco de sofisticación matemática, podemos escribir las leyes de la física de tal manera que también funcionen en el marco del automóvil: podemos describir sistemáticamente los factores de error para que puedan expresarse en cualquier sistema de coordenadas que deseemos. siempre y cuando esté relacionado de forma diferenciada con uno bueno.

Todo eso parece mucho trabajo sin una ganancia real: podemos encontrar un buen sistema de coordenadas simple y transformarlo de nuevo, ¿no?

Bueno, no, no podemos. Podemos , siempre que haya un buen sistema de coordenadas simple. Y en el espacio-tiempo plano siempre lo hay (de hecho, esta es más o menos la definición de espacio-tiempo plano). Pero no vamos a tratar con un espacio-tiempo plano, vamos a tratar con un espacio-tiempo que tiene curvatura. Y, para tal espacio-tiempo, no existe un sistema de coordenadas 'bueno' globalmente: de hecho, es posible que no haya ningún sistema de coordenadas global en absoluto , es posible que necesitemos un gráfico de varios sistemas de coordenadas, cada uno de los cuales cubre solo un parche de la cosa. estamos interesados ​​en (considerar$S^2$(la superficie bidimensional de una esfera) como ejemplo canónico de eso: necesita al menos dos sistemas de coordenadas en su gráfico).

Entonces, la covarianza general, también conocida como invariancia general de coordenadas, es encontrar una forma de escribir las cosas para que funcionen en cualquier buen sistema de coordenadas, no solo en un conjunto privilegiado de sistemas particularmente simples.

Lo siento por la respuesta prolija.

El truco es que cuando transformas entre dos sistemas de coordenadas que no se mueven uniformemente entre sí, al mismo tiempo debes transformar también el valor de la fuerza gravitatoria. Dado que este último se siente universalmente en toda la materia, las ecuaciones de movimiento resultan correctas en ambos sistemas de coordenadas.

Este es el contenido del famoso ejemplo del "ascensor": si te sientas en un ascensor que está en movimiento de caída libre en, por ejemplo, el campo gravitatorio terrestre, todos los experimentos que puedas hacer darán exactamente los mismos resultados que en un buen viejo marco inercial newtoniano.

Sin embargo, la afirmación correcta no es "es imposible distinguir entre un observador inercial y uno no inercial", sino "no existen los observadores inerciales" (= ningún experimento puede distinguir una clase de observadores distinguidos). Compare con las declaraciones análogas para la mecánica newtoniana: "es imposible distinguir entre un observador estático y uno no estático" frente a "no existen los observadores estáticos".